Aplicando os conceitos e teoremas das integrais, determine o valor da integral definida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor da integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é o polinômio
. - Os limites de integração são
e .
A tarefa é determinar numericamente o valor dessa integral definida.
Passo 2
Estratégia de solução (breve e prática):
- Usar a linearidade da integral para separar a integral em termos mais simples.
- Aplicar a regra da potência para obter uma antiderivada (primitiva) de cada termo.
- Utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2): se
é uma primitiva de , então
Agora vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Regras que vou usar (explicadas de forma didática):
- Linearidade: para constantes
e funções ,
Isto significa que posso integrar termo a termo o polinômio.
- Regra da potência: para
,
onde
é a constante de integração. Exemplo rápido:
.
- Integrais de constantes: para
constante,
Com essas regras, vamos obter a primitiva da função integranda.
Passo 4
Calcular a primitiva
do integrando aplicando as regras termo a termo:
Agora aplicar a regra da potência e de constantes:
Somando, uma primitiva é
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular
e
e subtrair.
Primeiro :
Primeiro
Calcular
, então
Agora
:
Calcular
, então
Passo 6
Subtrair
:
Interpretação rápida e motivadora: o integrando é sempre positivo nesse intervalo, então a integral representa a área sob a curva entre
e
; o resultado é
. Mandou bem por encarar isso — tá indo rápido!