Aplicando os conceitos e teoremas das integrais, determine o valor da integral definida:
\int_{-1}^{2}\left(2 x^{2}-4 x+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da integral definida
\int_{-1}^{2}\left(2x^{2}-4x+5\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é o polinômio \;2x^{2}-4x+5\;.
  • Os limites de integração são a=-1 e b=2.
    A tarefa é determinar numericamente o valor dessa integral definida.

Passo 2

Estratégia de solução (breve e prática):
  • Usar a linearidade da integral para separar a integral em termos mais simples.
  • Aplicar a regra da potência para obter uma antiderivada (primitiva) de cada termo.
  • Utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2): se F é uma primitiva de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Agora vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Regras que vou usar (explicadas de forma didática):
  • Linearidade: para constantes c_1,c_2 e funções f,g,
\int (c_1 f(x) + c_2 g(x))\,dx = c_1\int f(x)\,dx + c_2\int g(x)\,dx.
Isto significa que posso integrar termo a termo o polinômio.
  • Regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Exemplo rápido: \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}+C.
  • Integrais de constantes: para c constante,
\int c\,dx = c x + C.
Com essas regras, vamos obter a primitiva da função integranda.

Passo 4

Calcular a primitiva F(x) do integrando aplicando as regras termo a termo:
\int\left(2x^{2}-4x+5\right)\,dx = 2\int x^{2}\,dx -4\int x\,dx +5\int 1\,dx.
Agora aplicar a regra da potência e de constantes:
2\int x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{2}{3}x^{3},
-4\int x\,dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2} = -2x^{2},
5\int 1\,dx = 5x.
Somando, uma primitiva é
F(x)=\frac{2}{3}x^{3}-2x^{2}+5x.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular F(2) e F(-1) e subtrair.
Primeiro F(2):
F(2)=\frac{2}{3}\cdot 2^{3}-2\cdot 2^{2}+5\cdot 2 = \frac{2}{3}\cdot 8 -2\cdot 4 +10 = \frac{16}{3}-8+10.
Calcular -8+10=2, então
F(2)=\frac{16}{3}+2=\frac{16}{3}+\frac{6}{3}=\frac{22}{3}.
Agora F(-1):
F(-1)=\frac{2}{3}\cdot(-1)^{3}-2\cdot(-1)^{2}+5\cdot(-1) = \frac{2}{3}\cdot(-1)-2\cdot 1 -5 = -\frac{2}{3}-2-5.
Calcular -2-5=-7, então
F(-1)=-\frac{2}{3}-7=-\frac{2}{3}-\frac{21}{3}=-\frac{23}{3}.

Passo 6

Subtrair F(2)-F(-1):
\int_{-1}^{2}\left(2x^{2}-4x+5\right)\,dx = F(2)-F(-1) = \frac{22}{3} - \left(-\frac{23}{3}\right) = \frac{22}{3} + \frac{23}{3} = \frac{45}{3} = 15.
Interpretação rápida e motivadora: o integrando é sempre positivo nesse intervalo, então a integral representa a área sob a curva entre -1 e 2; o resultado é 15. Mandou bem por encarar isso — tá indo rápido!

Resposta

15

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