Aplicando as propriedades de derivadas determine.
\mathbf{y}=\sqrt[3]{\left(\frac{3 \mathbf{x}^{2}+4}{\mathbf{x}^{7}+1}\right)^{10}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
\mathbf{y}=\sqrt[3]{\left(\frac{3 \mathbf{x}^{2}+4}{\mathbf{x}^{7}+1}\right)^{10}}.
Informações dadas:
  • A função é a raiz cúbica do quociente \dfrac{3x^{2}+4}{x^{7}+1} elevado a 10.
  • O objetivo é encontrar \dfrac{d\mathbf{y}}{d\mathbf{x}} (a derivada de \mathbf{y} em relação a \mathbf{x}).

Passo 2

Primeiro simplificamos a escrita usando propriedades de potências. Lembrando que a raiz cúbica é potência 1/3 e (a^m)^n=a^{mn}, tem-se:
\mathbf{y}=\left(\frac{3\mathbf{x}^{2}+4}{\mathbf{x}^{7}+1}\right)^{\frac{10}{3}}.
Explicando: a expressão interna foi elevada a 10, e depois aplicou-se a raiz cúbica (potência 1/3), portanto o expoente total é 10\cdot\frac{1}{3}=\frac{10}{3}.

Passo 3

Usamos a regra da cadeia. Para aplicar direitinho, definimos a função interna
u(\mathbf{x})=\frac{3\mathbf{x}^{2}+4}{\mathbf{x}^{7}+1}, \qquad\text{então}\qquad \mathbf{y}=u(\mathbf{x})^{\frac{10}{3}}.ã
Regra da cadeia (explicada): se \mathbf{y}=F(u(\mathbf{x})) então \dfrac{d\mathbf{y}}{d\mathbf{x}}=F'(u(\mathbf{x}))\cdot u'(\mathbf{x}). No caso de potência, se F(u)=u^{k} então F'(u)=k\,u^{k-1}. Aqui k=\dfrac{10}{3}.
Aplicando a regra da potência + cadeia obtemos a forma:
\frac{d\mathbf{y}}{d\mathbf{x}}=\frac{10}{3}\,u(\mathbf{x})^{\frac{10}{3}-1}\cdot u'(\mathbf{x}) =\frac{10}{3}\,u(\mathbf{x})^{\frac{7}{3}}\cdot u'(\mathbf{x}).

Passo 4

Agora precisamos de u'(\mathbf{x}). Como u(\mathbf{x}) é um quociente, usamos a regra do quociente. Regra do quociente (explicada): se u(\mathbf{x})=\dfrac{f(\mathbf{x})}{g(\mathbf{x})} então
u'(\mathbf{x})=\frac{f'(\mathbf{x})g(\mathbf{x})-f(\mathbf{x})g'(\mathbf{x})}{\bigl(g(\mathbf{x})\bigr)^{2}}.
Aqui escolhemos
f(\mathbf{x})=3\mathbf{x}^{2}+4,\qquad g(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{7}+1.
Derivadas simples:
f'(\mathbf{x})=6\mathbf{x},\qquad g'(\mathbf{x})=7\mathbf{x}^{6}.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
u'(\mathbf{x})=\frac{6\mathbf{x}\,(\mathbf{x}^{7}+1)-(3\mathbf{x}^{2}+4)\,7\mathbf{x}^{6}}{(\mathbf{x}^{7}+1)^{2}}.
Agora desenvolvemos e simplificamos o numerador passo a passo:
6\mathbf{x}\,(\mathbf{x}^{7}+1)=6\mathbf{x}^{8}+6\mathbf{x},
(3\mathbf{x}^{2}+4)\,7\mathbf{x}^{6}=21\mathbf{x}^{8}+28\mathbf{x}^{6}.
Subtraindo:
6\mathbf{x}^{8}+6\mathbf{x}-\bigl(21\mathbf{x}^{8}+28\mathbf{x}^{6}\bigr) =(6\mathbf{x}^{8}-21\mathbf{x}^{8})-28\mathbf{x}^{6}+6\mathbf{x} =-15\mathbf{x}^{8}-28\mathbf{x}^{6}+6\mathbf{x}.
Portanto
u'(\mathbf{x})=\frac{-15\mathbf{x}^{8}-28\mathbf{x}^{6}+6\mathbf{x}}{(\mathbf{x}^{7}+1)^{2}}.
Observação útil: pode-se fatorar \mathbf{x} no numerador se for conveniente:
-15\mathbf{x}^{8}-28\mathbf{x}^{6}+6\mathbf{x}=\mathbf{x}\bigl(-15\mathbf{x}^{7}-28\mathbf{x}^{5}+6\bigr).

Passo 6

Voltando à expressão para \dfrac{d\mathbf{y}}{d\mathbf{x}}:
\frac{d\mathbf{y}}{d\mathbf{x}} =\frac{10}{3}\,u(\mathbf{x})^{\frac{7}{3}}\cdot u'(\mathbf{x}) =\frac{10}{3}\left(\frac{3\mathbf{x}^{2}+4}{\mathbf{x}^{7}+1}\right)^{\frac{7}{3}} \cdot\frac{-15\mathbf{x}^{8}-28\mathbf{x}^{6}+6\mathbf{x}}{(\mathbf{x}^{7}+1)^{2}}.
Agora simplificamos juntando as potências de (\mathbf{x}^{7}+1). No numerador já temos a potência (3\mathbf{x}^{2}+4)^{\frac{7}{3}}. No denominador combinamos (\mathbf{x}^{7}+1)^{\frac{7}{3}} (vinda da primeira fração) com (\mathbf{x}^{7}+1)^{2} (vinda do quociente). Lembrando que ao dividir potências de mesma base soma-se os expoentes no denominador: \dfrac{1}{(x^7+1)^{7/3}}\cdot\dfrac{1}{(x^7+1)^{2}}=\dfrac{1}{(x^7+1)^{7/3+2}}. Calculamos
\frac{7}{3}+2=\frac{7}{3}+\frac{6}{3}=\frac{13}{3}.
Logo a forma simplificada é
\frac{d\mathbf{y}}{d\mathbf{x}} =\frac{10\,(3\mathbf{x}^{2}+4)^{\frac{7}{3}}\bigl(-15\mathbf{x}^{8}-28\mathbf{x}^{6}+6\mathbf{x}\bigr)} {3\,(\mathbf{x}^{7}+1)^{\frac{13}{3}}}.

Resposta

\frac{d\mathbf{y}}{d\mathbf{x}} =\frac{10\,(3\mathbf{x}^{2}+4)^{\frac{7}{3}}\bigl(-15\mathbf{x}^{8}-28\mathbf{x}^{6}+6\mathbf{x}\bigr)} {3\,(\mathbf{x}^{7}+1)^{\frac{13}{3}}}

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