Aplicando as propriedades de derivadas determine.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é a raiz cúbica do quociente
elevado a . - O objetivo é encontrar
(a derivada de em relação a ).
Passo 2
Primeiro simplificamos a escrita usando propriedades de potências. Lembrando que a raiz cúbica é potência
e
, tem-se:
Explicando: a expressão interna foi elevada a
, e depois aplicou-se a raiz cúbica (potência
), portanto o expoente total é
.
Passo 3
Usamos a regra da cadeia. Para aplicar direitinho, definimos a função interna
Regra da cadeia (explicada): se
então
. No caso de potência, se
então
. Aqui
.
Aplicando a regra da potência + cadeia obtemos a forma:
Passo 4
Agora precisamos de
. Como
é um quociente, usamos a regra do quociente. Regra do quociente (explicada): se
então
Aqui escolhemos
Derivadas simples:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Agora desenvolvemos e simplificamos o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Portanto
Observação útil: pode-se fatorar
no numerador se for conveniente:
Passo 6
Voltando à expressão para
:
Agora simplificamos juntando as potências de
. No numerador já temos a potência
. No denominador combinamos
(vinda da primeira fração) com
(vinda do quociente). Lembrando que ao dividir potências de mesma base soma-se os expoentes no denominador:
. Calculamos
Logo a forma simplificada é