1. Dada a função abaixo, determine os extremos relativos, caso afirmativo, classifique. f(x)=8 x^{3}-24 x^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede para determinar os extremos relativos (se existirem) e classificá‑los:
  • Função dada: f(x)=8x^{3}-24x^{2}.
  • Pergunta: existem extremos relativos? Se sim, quais são os pontos e como classificá‑los (máximo ou mínimo relativo)?
  • Observação: domínio implícito é \mathbb{R} (polinômio definido para todo x).

Passo 2

Plano de ação (o que vamos fazer, explicado de modo didático e prático):
  • Para achar extremos relativos de uma função suave (derivável), primeiro encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0 e também checamos pontos onde f' não existe (aqui não é o caso).
  • Depois usamos o teste da segunda derivada: se em um ponto crítico x=c tivermos f''\text{(c)}>0 então f tem mínimo relativo em c; se f''\text{(c)}<0 então tem máximo relativo em c. Se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo e precisaríamos usar o teste da primeira derivada ou outra análise.
  • Breve revisão da regra usada: a regra do poder (power rule) diz que a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Exemplo rápido: a derivada de x^{2} é 2x porque n=2.

Passo 3

Calcular a primeira derivada f'(x) aplicando a regra do poder termo a termo:
f(x)=8x^{3}-24x^{2}
A derivada de 8x^{3} é 8\cdot 3x^{2}=24x^{2}.
A derivada de -24x^{2} é -24\cdot 2x=-48x.
Portanto,
f'(x)=24x^{2}-48x.
Fatorando para facilitar a resolução:
f'(x)=24x(x-2).

Passo 4

Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
24x(x-2)=0.
Como 24\neq0, os fatores úteis são x=0 e x=2.
Portanto os pontos críticos são x=0 e x=2.
Também confirmamos que não há pontos onde f' deixa de existir (derivada existe para todo x).

Passo 5

Calcular a segunda derivada f''(x) para aplicar o teste da segunda derivada:
A partir de f'(x)=24x^{2}-48x, derivando novamente termo a termo:
f''(x)=48x-48.
Agora avaliamos f'' nos pontos críticos:
f''(0)=48\cdot 0-48=-48<0,
f''(2)=48\cdot2-48=96-48=48>0.
Interpretação (explicando o porquê): quando f''\text{(c)}<0 a curva é côncava para baixo perto de c, o que corresponde a um máximo relativo; quando f''\text{(c)}>0 a curva é côncava para cima, correspondendo a um mínimo relativo.

Passo 6

Conclusão a partir das avaliações da segunda derivada:
  • Em x=0 temos f''(0)=-48<0, logo f tem um máximo relativo em x=0.
  • Em x=2 temos f''(2)=48>0, logo f tem um mínimo relativo em x=2.
Para ficar completo, calculemos os valores da função nesses pontos:
f(0)=8\cdot 0^{3}-24\cdot 0^{2}=0,
f(2)=8\cdot 2^{3}-24\cdot 2^{2}=8\cdot 8-24\cdot 4=64-96=-32.
Assim os pontos são (0,0) e (2,-32).
Como checagem extra (opcional e didática), veja o sinal de f'(x)=24x(x-2):
  • Para x<0: x<0 e x-2<0 ⇒ produto positivo ⇒ f'>0 (função crescente à esquerda de 0).
  • Para 0<x<2: x>0 e x-2<0 ⇒ produto negativo ⇒ f'<0 (função decrescente entre 0 e 2).
  • Para x>2: x>0 e x-2>0 ⇒ produto positivo ⇒ f'>0 (função crescente à direita de 2).
    Isso confirma: sobe antes de 0 e desce depois de 0 ⇒ máximo em 0; desce antes de 2 e sobe depois de 2 ⇒ mínimo em 2.

Resposta

Máximo relativo em x=0 com valor f(0)=0.
Mínimo relativo em x=2 com valor f(2)=-32.

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