- Dada a função abaixo, determine os extremos relativos, caso afirmativo, classifique.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar os extremos relativos (se existirem) e classificá‑los:
- Função dada:
. - Pergunta: existem extremos relativos? Se sim, quais são os pontos e como classificá‑los (máximo ou mínimo relativo)?
- Observação: domínio implícito é
(polinômio definido para todo ).
Passo 2
Plano de ação (o que vamos fazer, explicado de modo didático e prático):
- Para achar extremos relativos de uma função suave (derivável), primeiro encontramos os pontos críticos resolvendo
e também checamos pontos onde não existe (aqui não é o caso). - Depois usamos o teste da segunda derivada: se em um ponto crítico
tivermos então tem mínimo relativo em ; se então tem máximo relativo em . Se o teste é inconclusivo e precisaríamos usar o teste da primeira derivada ou outra análise. - Breve revisão da regra usada: a regra do poder (power rule) diz que a derivada de
é . Exemplo rápido: a derivada de é porque .
Passo 3
Calcular a primeira derivada
aplicando a regra do poder termo a termo:
A derivada de
é
.
A derivada de é
.
Portanto,
A derivada de
Portanto,
Fatorando para facilitar a resolução:
Passo 4
Encontrar pontos críticos resolvendo
:
Como
, os fatores úteis são
e
.
Portanto os pontos críticos são e
.
Também confirmamos que não há pontos onde deixa de existir (derivada existe para todo
).
Portanto os pontos críticos são
Também confirmamos que não há pontos onde
Passo 5
Calcular a segunda derivada
para aplicar o teste da segunda derivada:
A partir de , derivando novamente termo a termo:
A partir de
Agora avaliamos
nos pontos críticos:
Interpretação (explicando o porquê): quando
a curva é côncava para baixo perto de
, o que corresponde a um máximo relativo; quando
a curva é côncava para cima, correspondendo a um mínimo relativo.
Passo 6
Conclusão a partir das avaliações da segunda derivada:
- Em
temos , logo tem um máximo relativo em . - Em
temos , logo tem um mínimo relativo em .
Para ficar completo, calculemos os valores da função nesses pontos:
Assim os pontos são
e
.
Como checagem extra (opcional e didática), veja o sinal de
:
- Para
: e ⇒ produto positivo ⇒ (função crescente à esquerda de ). - Para
: e ⇒ produto negativo ⇒ (função decrescente entre e ). - Para
: e ⇒ produto positivo ⇒ (função crescente à direita de ).
Isso confirma: sobe antes dee desce depois de ⇒ máximo em ; desce antes de e sobe depois de ⇒ mínimo em .
Resposta
Máximo relativo em
com valor
.
Mínimo relativo em com valor
.
Mínimo relativo em