Aplicando a definição de integral de linha, calcular
onde
é a curva dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
, onde a curva
é definida pelas equações paramétricas
e
, com
variando de
até
. Vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como parametrizar a curva para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. É uma forma de somar valores de uma função ao longo de uma curva no espaço. No nosso caso, a função que estamos integrando é um campo vetorial dado por
. Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva
, ou seja, expressar
e
em termos de um parâmetro, que nesse caso é
.
Passo 3
A curva
já está parametrizada para nós:
e
, onde
varia de
até
. O próximo passo é encontrar as derivadas dessas funções em relação a
, que vamos precisar para substituir na integral.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Essas derivadas representam como
e
mudam com relação a
, e serão usadas para substituir
e
na integral.
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
,
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 6
Unindo os termos semelhantes:
Agora, vamos integrar
em relação a
de
a
.
Passo 7
Calculando a integral:
Resposta
O valor da integral é
.