Aplicando a definição de integral de linha, calcular integralC x y^2 d x+x^2 y d y onde C é a curva dada por x=t^2, y=t^3, 1 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralC x y^2 d x + x^2 y d y, onde a curva C é definida pelas equações paramétricas x = t^2 e y = t^3, com t variando de 1 até 2. Vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como parametrizar a curva para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. É uma forma de somar valores de uma função ao longo de uma curva no espaço. No nosso caso, a função que estamos integrando é um campo vetorial dado por F(x, y) = (x y^2, x^2 y). Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva C, ou seja, expressar x e y em termos de um parâmetro, que nesse caso é t.

Passo 3

A curva C já está parametrizada para nós: x = t^2 e y = t^3, onde t varia de 1 até 2. O próximo passo é encontrar as derivadas dessas funções em relação a t, que vamos precisar para substituir na integral.

Passo 4

Calculando as derivadas:
dxdt = 2t e dydt = 3t^2
Essas derivadas representam como x e y mudam com relação a t, e serão usadas para substituir dx e dy na integral.

Passo 5

Agora, vamos substituir x, y, dx e dy na integral original:
integralC x y^2 d x + x^2 y d y = integral1^2 (t^2 cdot (t^3)^2 cdot 2t) + (t^2)^2 cdot t^3 cdot 3t^2 , dt
Simplificando os termos:
= integral1^2 (t^2 cdot t^6 cdot 2t) + (t^4 cdot t^3 cdot 3t^2) , dt = integral1^2 (2t^9 + 3t^9) , dt

Passo 6

Unindo os termos semelhantes:
= integral1^2 5t^9 , dt
Agora, vamos integrar 5t^9 em relação a t de 1 a 2.

Passo 7

Calculando a integral:
integral1^2 5t^9 , dt = 5 cdot [ t^1010 ]1^2 = 510 (2^10 - 1^10) = 12 (1024 - 1) = 10232 = 511,5

Resposta

O valor da integral é 511,5.

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