Encontre o valor da constante
para que a função abaixo seja contínua no ponto $ \mathbb{L} $
(2.5 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de continuidade! O enunciado pede para encontrar o valor da constante $ a $ para que a função
seja contínua no ponto $ x = 2 $. Vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que para a função ser contínua em um ponto, o limite quando $ x $ se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2, ou seja, $ \lim_{x \to 2} f(x) $. Para $ x \neq 2 $, a função é:
Vamos simplificar o numerador:
Para facilitar, vamos fatorar esse polinômio.
Passo 3
Fatorando o numerador $ x^{2} - (a+2)x + 2a $, procuramos dois números que multiplicados dão $ 2a $ e somados dão $ -(a+2) $. Esses números são $ -2 $ e $ -a $. Assim, podemos escrever:
Então, a função fica:
Para $ x \neq 2 $, podemos cancelar o termo $ (x - 2) $:
Passo 4
Agora, temos que o limite quando $ x $ se aproxima de 2 de $ f(x) $ é:
Para a função ser contínua em $ x = 2 $, esse limite deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que é $ f(2) = 5 + a $.
Passo 5
Vamos igualar o limite ao valor da função:
Agora, resolvemos para $ a $:
Resposta
O valor da constante $ a $ é $ -\frac{3}{2} $.