Encontre o valor da constante a para que a função abaixo seja contínua no ponto $ \mathbb{L} $
L
(2.5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de continuidade! O enunciado pede para encontrar o valor da constante $ a $ para que a função
a
seja contínua no ponto $ x = 2 $. Vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que para a função ser contínua em um ponto, o limite quando $ x $ se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2, ou seja, $ \lim_{x \to 2} f(x) $. Para $ x \neq 2 $, a função é:
f(x)
Vamos simplificar o numerador:
x
Para facilitar, vamos fatorar esse polinômio.

Passo 3

Fatorando o numerador $ x^{2} - (a+2)x + 2a $, procuramos dois números que multiplicados dão $ 2a $ e somados dão $ -(a+2) $. Esses números são $ -2 $ e $ -a $. Assim, podemos escrever:
x^2 - (a+2)x + 2a
Então, a função fica:
2a
Para $ x \neq 2 $, podemos cancelar o termo $ (x - 2) $:
-(a+2)

Passo 4

Agora, temos que o limite quando $ x $ se aproxima de 2 de $ f(x) $ é:
x
Para a função ser contínua em $ x = 2 $, esse limite deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que é $ f(2) = 5 + a $.

Passo 5

Vamos igualar o limite ao valor da função:
2 - a = 5 + a
Agora, resolvemos para $ a $:
a

Resposta

O valor da constante $ a $ é $ -\frac{3}{2} $.

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