[Exercícios 2-6] Calcule as seguintes integrais duplas sobre retângulos:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular uma integral dupla sobre um retângulo. O conteúdo aqui envolve integrais duplas e um pouco de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como integrar uma função de duas variáveis dentro de certos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Aqui, estamos integrando a função $ \frac{x}{xy + 1} $ sobre o retângulo onde $ x $ e $ y $ variam de 0 a 1.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a $ y $, mantendo $ x $ como constante. Então, nossa primeira integral fica:
Para resolver isso, podemos usar uma substituição. Vamos deixar $ u = xy + 1 $. Derivando ambos os lados em relação a $ y $, temos:
Passo 4
Substituindo na integral, ficamos com:
Essa é uma integral básica, cuja antiderivada é $ \ln|u| $. Então, temos:
Como $ \ln(1) = 0 $, simplifica para:
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa expressão resultante em relação a $ x $:
Para isso, vamos usar integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções. Escolhemos:
- $ u = \ln(x + 1) $
$ du = \frac{1}{x + 1} , dx $integral0^1 ln(x + 1) , dx - $ dv = dx $
$ v = x $u = ln(x + 1)
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $, temos:
Vamos simplificar a segunda integral. Dividindo $ x $ por $ x + 1 $:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Passo 8
Voltando à expressão anterior:
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 1:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
Subtraindo os valores:
Resposta
A integral dupla vale $ 2 \ln(2) - 1 $.