[Exercícios 2-6] Calcule as seguintes integrais duplas sobre retângulos:
integralR^R integralR xx y+1 d A ; R=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular uma integral dupla sobre um retângulo. O conteúdo aqui envolve integrais duplas e um pouco de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como integrar uma função de duas variáveis dentro de certos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
integral0^1 integral0^1 xxy + 1 , dy , dx
Aqui, estamos integrando a função $ \frac{x}{xy + 1} $ sobre o retângulo onde $ x $ e $ y $ variam de 0 a 1.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a $ y $, mantendo $ x $ como constante. Então, nossa primeira integral fica:
y
Para resolver isso, podemos usar uma substituição. Vamos deixar $ u = xy + 1 $. Derivando ambos os lados em relação a $ y $, temos:
x

Passo 4

Substituindo na integral, ficamos com:
integral xu cdot dux = integral 1u , du
Essa é uma integral básica, cuja antiderivada é $ \ln|u| $. Então, temos:
ln|u|
Como $ \ln(1) = 0 $, simplifica para:
ln|u| |u=1^u=x cdot 1 + 1 = ln(x + 1) - ln(1)

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa expressão resultante em relação a $ x $:
x
Para isso, vamos usar integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções. Escolhemos:
  • $ u = \ln(x + 1) $ integral0^1 ln(x + 1) , dx $ du = \frac{1}{x + 1} , dx $
  • $ dv = dx $ u = ln(x + 1) $ v = x $

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $, temos:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos simplificar a segunda integral. Dividindo $ x $ por $ x + 1 $:
x ln(x + 1) - integral x cdot 1x + 1 , dx

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral (1 - 1x + 1) dx = integral 1 , dx - integral 1x + 1 , dx = x - ln(x + 1)

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
x ln(x + 1) - ( x - ln(x + 1) ) = x ln(x + 1) - x + ln(x + 1)
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 1:
Para $ x = 1 $:
x = 1
Para $ x = 0 $:
1 cdot ln(2) - 1 + ln(2) = 2 ln(2) - 1
Subtraindo os valores:
x = 0

Resposta

A integral dupla vale $ 2 \ln(2) - 1 $.

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