Aplicando diferenciação e integração termo a termo encontre a soma das seguintes séries e a região de convergência. f(x)=\sum_{1} \frac{x^{n}}{n}=x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\ldots
Passo 1
O enunciado pede para somar a série de potências
f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}
e determinar sua região de convergência, usando diferenciação e integração termo a termo.
Passo 2
Usamos o teste da razão para achar o raio de convergência. Seja
Para determinar C, usamos f(0)=0. Como -\ln(1-0)+C=0, segue C=0. Portanto
f(x)=-\ln\bigl(1-x\bigr)\quad\text{para }|x|<1.
Passo 6
Nos extremos do intervalo de convergência:
– Em x=1 a série vira \sum 1/n, que diverge.
– Em x=-1 a série vira \sum(-1)^n/n, que converge condicionalmente a -\ln2.
Resposta
f(x)=-\ln\bigl(1-x\bigr),\quad \text{raio de convergência }|x|<1ê
convergência condicional em x=-1 e divergência em x=1.