Aplicando diferenciação e integração termo a termo encontre a soma das seguintes séries e a região de convergência.
f(x)=\sum_{1} \frac{x^{n}}{n}=x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para somar a série de potências
f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}
e determinar sua região de convergência, usando diferenciação e integração termo a termo.

Passo 2

Usamos o teste da razão para achar o raio de convergência. Seja
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\right| =\lim_{n\to\infty}|x|\frac{n}{n+1}=|x|.
Como L<1 exige |x|<1, a série converge para |x|<1.

Passo 3

Diferenciando termo a termo (válido em |x|<1), temos
f'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{d}{dx}\bigl(x^n/n\bigr) =\sum_{n=1}^\infty x^{n-1} =\frac{1}{1-x}.

Passo 4

Agora integramos f'(x) de 0 até x:
\int_0^x \frac{1}{1-t}\,dt = -\ln\bigl(1-x\bigr).
Logo,
f(x)=-\ln\bigl(1-x\bigr)+C.

Passo 5

Para determinar C, usamos f(0)=0. Como -\ln(1-0)+C=0, segue C=0. Portanto
f(x)=-\ln\bigl(1-x\bigr)\quad\text{para }|x|<1.

Passo 6

Nos extremos do intervalo de convergência:
– Em x=1 a série vira \sum 1/n, que diverge.
– Em x=-1 a série vira \sum(-1)^n/n, que converge condicionalmente a -\ln2.

Resposta

f(x)=-\ln\bigl(1-x\bigr),\quad \text{raio de convergência }|x|<1ê
convergência condicional em x=-1 e divergência em x=1.

Exercícios relacionados