Aplicando diferenciação e integração termo a termo encontre a soma das seguintes séries e a região de convergência.
f(x)=\sum_{1}(n+1) x^{n}=2 x+3 x^{2}+4 x^{3}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para somar a série de potência \displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)\,x^{n}=2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots
e determinar sua região de convergência, usando diferenciação e integração termo a termo. O conteúdo aqui é manipular séries geométricas conhecidas e obter novas séries por derivação.

Passo 2

Começamos lembrando da série geométrica básica
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x},
válida para \lvert x\rvert<1. Essa é a “mina de ouro” para gerar outras séries derivando e integrando.

Passo 3

Derivando termo a termo a série geométrica em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\Bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}},
ainda para \lvert x\rvert<1.

Passo 4

Multiplicando essa última igualdade por x, temos
\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n} =\frac{x}{(1-x)^{2}}.

Passo 5

A série desejada é \sum_{n=1}^{\infty}(n+1)x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}. Já sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}x^{n}=\frac{x}{1-x}.
Somando as duas frações:
\frac{x}{(1-x)^{2}}+\frac{x}{1-x} =\frac{x + x(1-x)}{(1-x)^{2}} =\frac{2x - x^{2}}{(1-x)^{2}} =\frac{x\,(2 - x)}{(1-x)^{2}}.

Passo 6

A região de convergência é a interseção das que obtivemos para as séries geométrica e sua derivada, ou seja, \lvert x\rvert<1.

Resposta

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)\,x^{n} =\frac{x\,(2 - x)}{(1-x)^{2}}, \quad\lvert x\rvert<1.

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