Aplicando diferenciação e integração termo a termo encontre a soma das seguintes séries e a região de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para somar a série de potência
e determinar sua região de convergência, usando diferenciação e integração termo a termo. O conteúdo aqui é manipular séries geométricas conhecidas e obter novas séries por derivação.
e determinar sua região de convergência, usando diferenciação e integração termo a termo. O conteúdo aqui é manipular séries geométricas conhecidas e obter novas séries por derivação.
Passo 2
Começamos lembrando da série geométrica básica
válida para
. Essa é a “mina de ouro” para gerar outras séries derivando e integrando.
Passo 3
Derivando termo a termo a série geométrica em relação a
, obtemos
ainda para
.
Passo 4
Multiplicando essa última igualdade por
, temos
Passo 5
A série desejada é
. Já sabemos que
Somando as duas frações:
Passo 6
A região de convergência é a interseção das que obtivemos para as séries geométrica e sua derivada, ou seja,
.