Estabeleça séries de Taylor para as funções seguintes na vizinha dos pontos indicadas.
\log (3+x) ; x=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de \log(3+x) em torno de x=0. Para isso, vamos usar o conhecimento da expansão em série de Taylor de \log(1+u).

Passo 2

Reescrevemos a função de modo a ficar da forma \log(1+u):
\log(3+x)=\log(3)+\log\!\Bigl(1+\tfrac{x}{3}\Bigr).

Passo 3

Sabemos que, para \lvert u\rvert<1, vale a expansão
\log(1+u)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\,\frac{u^n}{n}.

Passo 4

Basta agora tomar u=\tfrac{x}{3} e inserir na série de \log(1+u):
\log\!\Bigl(1+\tfrac{x}{3}\Bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\,\frac{(x/3)^n}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\,\frac{x^n}{n\,3^n}.
Somando \log(3), obtemos a expansão completa de \log(3+x).

Resposta

\log(3+x)=\log(3)+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\,\frac{x^n}{n\,3^n}, \quad\lvert x\rvert<3.

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