Aplicando diferenciação e integração termo a termo encontre a soma das seguintes séries e a região de convergência.
f(x)=\sum_{0} x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots .

Passo 1

O enunciado pede a soma da série geométrica
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots
e a região de convergência. O conteúdo é soma de progressão geométrica e teste da razão.

Passo 2

Usamos o teste da razão para série de potências:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{x^{n}}\right|=|x|.
Para convergir, é necessário
|x|<1.

Passo 3

Assumindo |x|<1, escrevemos
f(x)=1+x+x^{2}+\cdots.
Multiplicando por (1-x) em ambos os lados, temos
(1-x)f(x)=(1+x+x^{2}+\cdots)-(x+x^{2}+x^{3}+\cdots)=1,
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f(x)=\frac{1}{1-x}.

Resposta

f(x)=\dfrac{1}{1-x}, com região de convergência |x|<1.

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