Aplicando diferenciação e integração termo a termo encontre a soma das seguintes séries e a região de convergência.
f(x)=\sum_{0} x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots .

Passo 1

O enunciado pede para explorar a série de potências
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots
aplicando diferenciação e integração termo a termo. O conteúdo envolve séries geométricas e operações term-by-term sobre séries de potências, cuja validade exige que x esteja dentro do raio de convergência.

Passo 2

Começamos encontrando a soma fechada de f(x). Definindo a soma parcial
S_{N}(x)=\sum_{n=0}^{N}x^{n},
sabemos da fórmula da soma de uma progressão geométrica que
S_{N}(x)=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}\quad(x\neq1).
Fazendo N\to\infty, temos x^{N+1}\to0 se e somente se \lvert x\rvert<1. Logo
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x},
com região de convergência \lvert x\rvert<1.

Passo 3

Agora diferenciamos termo a termo dentro do mesmo intervalo \lvert x\rvert<1. Temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\biggl(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\biggr) =\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}.
Por outro lado, derivando a forma fechada,
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{1-x}\Bigr)=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}},
e multiplicando ambos os lados por x obtém-se
\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}\,,\quad\lvert x\rvert<1.

Passo 4

Em seguida, integramos termo a termo de 0 a x, ainda para \lvert x\rvert<1:
\int_{0}^{x}f(t)\,dt =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}t^{n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}t^{n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Por outro lado, usando a forma fechada
\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\,dt=-\ln\bigl(1-t\bigr)\Big|_{0}^{x}=-\ln\bigl(1-x\bigr).
Logo
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}=-\ln\bigl(1-x\bigr),
e basta dividir por x (para x\neq0) para escrever
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n+1}=-\frac{\ln(1-x)}{x},\quad\lvert x\rvert<1.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x},\quad \lvert x\rvert<1. \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}},\quad \lvert x\rvert<1. \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n+1}=-\frac{\ln(1-x)}{x},\quad \lvert x\rvert<1.

Exercícios relacionados