Aplicando diferenciação e integração termo a termo encontre a soma das seguintes séries e a região de convergência. f(x)=\sum_{0} x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots .
Passo 1
O enunciado pede para explorar a série de potências
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots
aplicando diferenciação e integração termo a termo. O conteúdo envolve séries geométricas e operações term-by-term sobre séries de potências, cuja validade exige que x esteja dentro do raio de convergência.
Passo 2
Começamos encontrando a soma fechada de f(x). Definindo a soma parcial
S_{N}(x)=\sum_{n=0}^{N}x^{n},
sabemos da fórmula da soma de uma progressão geométrica que
S_{N}(x)=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}\quad(x\neq1).
Fazendo N\to\infty, temos x^{N+1}\to0 se e somente se \lvert x\rvert<1. Logo
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x},
com região de convergência \lvert x\rvert<1.
Passo 3
Agora diferenciamos termo a termo dentro do mesmo intervalo \lvert x\rvert<1. Temos