(2,5 pts) Dada T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} um transformação linear e representação na base canônica dada 2,5 pela matriz [T]_{C}=\left(\begin{array}{cc}-4 & -1 \\\\ 4 & 0\end{array}\right) decida se a mesma é diagonallzável, em caso positivo, calcule os autovalores, autovetores e sua forma diagonal.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica é
Da primeira linha vem -2x - y=0\Rightarrow y=-2x. Logo
v = x\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix},
e o espaço próprio é gerado apenas por \bigl(1,-2\bigr), ou seja, dimensão geométrica 1.]
Passo 4
Como o autovalor \lambda=-2 tem multiplicidade algébrica 2 mas só gera 1 vetor próprio (multiplicidade geométrica 1), não há base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores. Logo [T]_C não é diagonalizável.