(2,5 pts) Dada T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} um transformação linear e representação na base canônica dada 2,5 pela matriz [T]_{C}=\left(\begin{array}{cc}-4 & -1 \\\\ 4 & 0\end{array}\right) decida se a mesma é diagonallzável, em caso positivo, calcule os autovalores, autovetores e sua forma diagonal.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica é
[T]_C = \begin{pmatrix}-4 & -1 \\\\ 4 & 0\end{pmatrix}.
O objetivo é decidir se ela é diagonalizável; em caso afirmativo, encontrar autovalores, autovetores e a forma diagonal.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de [T]_C:
\det\bigl([T]_C - \lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}-4-\lambda & -1 \\[6pt]4 & -\lambda\end{pmatrix} =(-4-\lambda)(-\lambda)-(-1)\cdot4 =\lambda^2+4\lambda+4.
Resolvendo
\lambda^2+4\lambda+4=0
obtemos a raiz única \lambda=-2 com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Para \lambda=-2 achamos os autovetores resolvendo
\bigl([T]_C+2I\bigr)v=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}-2 & -1 \\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0.
Da primeira linha vem -2x - y=0\Rightarrow y=-2x. Logo
v = x\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix},
e o espaço próprio é gerado apenas por \bigl(1,-2\bigr), ou seja, dimensão geométrica 1.]

Passo 4

Como o autovalor \lambda=-2 tem multiplicidade algébrica 2 mas só gera 1 vetor próprio (multiplicidade geométrica 1), não há base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores. Logo [T]_C não é diagonalizável.

Resposta

A transformação não é diagonalizável.

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