Aplicando a estatística quântica ao problema da radiação de corpo negro, demonstre (a) a lei de deslocamento de Wien e (b) a lei de Stefan-Boltzmann. Explique.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Demonstrar a lei de deslocamento de Wien (forma usual: relação entre o comprimento de onda do máximo da emissão e a temperatura).
- (b) Demonstrar a lei de Stefan–Boltzmann (potência radiada por unidade de área de um corpo negro como função de
).
Informações e constantes que vamos usar (essas vêm do enunciado implícito “aplicar estatística quântica”):
- Constantes fundamentais:
(constante de Planck), (constante de Boltzmann), (velocidade da luz). - A expressão da distribuição espectral de Planck (energia por unidade de volume e por unidade de comprimento de onda), que é o ponto de partida da demonstração:
- A versão por unidade de frequência, também útil:
O que vamos provar a partir dessas expressões: (a) encontrar
tal que
é máximo e deduzir
; (b) integrar a distribuição espectral sobre todas as frequências para obter a energia por unidade de volume
e a razão entre fluxo radiant e
.
Passo 2
Comentário rápido sobre as fórmulas e variáveis (para ficar tranquilo com o que cada termo significa):
- Em
: é a densidade de energia por unidade de comprimento de onda — energia por volume e por intervalo de comprimento de onda. As variáveis são: -
: comprimento de onda. -
: temperatura absoluta. -
: constante de Planck. -
: velocidade da luz. -
: constante de Boltzmann.
-
- A forma de Planck surge ao quantizar os modos do campo eletromagnético e usar a distribuição de Bose–Einstein para ocupação dos fótons. Aqui vamos usar essa fórmula como ponto de partida (ela já é a consequência da estatística quântica).
Importante: o máximo de
(por frequência) e o máximo de
(por comprimento de onda) não ocorrem no mesmo ponto numérico; por isso ao falar da lei de Wien é comum fixar qual forma se usa. A lei tradicional de Wien normalmente é dada na forma
. Vamos proceder com
para obter essa forma.
Passo 3
Queremos achar
que maximiza
. Começamos reescrevendo a dependência em termos de uma variável adimensional:
- Defina
Então
. Substituindo em
(extraindo fatores que dependem de
fora):
Portanto, para dado
maximizar
em
é equivalente a maximizar a função adimensional
em
.
Agora derivamos
e igualamos a zero:
O numerador deve ser zero:
Como
, divide-se por
e obtemos a equação transcendental
Rearranjando:
Essa equação não tem solução elementar; resolve-se numericamente. Um método simples (Newton) converge rápido. Tomando
e fazendo duas iterações de Newton obtém-se o valor
(é o único zero positivo relevante).
Voltando à relação entre
e
:
Definindo a constante de deslocamento de Wien
por
, temos
Substituindo
e o valor de
, obtemos numericamente
Interpretação curta: a lei de deslocamento de Wien (na forma usual) é
ou seja, conforme a temperatura aumenta o comprimento de onda do pico desloca-se para comprimentos de onda menores (mais energia, cor mais azulada).
Passo 4
Para obter a energia total por unidade de volume
integra-se a distribuição espectral por frequência (é mais direto usar a forma por frequência):
Fazemos a mudança de variável adimensional
Então
. Substituindo na integral:
Simplificando fatores de
:
Passo 5
Usamos a expansão geométrica da função
:
Trocar soma e integral (justificado por conv. uniforme) dá
A integral dentro da soma é conhecida (fórmula de Gamma):
Portanto
Usando
obtemos
Passo 6
Substituindo o resultado do integral em
do Passo 4:
Definimos a constante
tal que
Isso mostra que a densidade de energia é proporcional a
— já estamos quase na forma da lei de Stefan–Boltzmann.
Passo 7
O que queremos normalmente em termodinâmica/astronomia é a potência radiada por unidade de área (fluxo ou emisividade total),
. Para radiação isotrópica (campo preenchendo espaço uniformemente) a relação entre energia volumétrica
e fluxo que atravessa uma superfície é
Rápida justificativa (física simples): a energia que atravessa uma superfície por unidade tempo vem de fótons com velocidade
projetada na direção normal; ao integrar sobre todas as direções do semiespaço que aponta para fora, o fator médio de projeção dá
(fórmula padrão da cinética de gases/radiação isotrópica).
Portanto
onde a constante de Stefan–Boltzmann
é
Substituindo valores numéricos das constantes obtém-se o valor numérico bem conhecido
Passo 8
- Resultado (a): a lei de deslocamento de Wien na forma usual é
onde
é a solução de
. Dica de prova: escreva
em função da variável
e maximize a função adimensional
.
- Resultado (b): a lei de Stefan–Boltzmann é
Dica de prova: integre
em todas as frequências, troque para variável adimensional
, use a expansão em série para
e a integral
para obter
. Depois relacione densidade de energia com fluxo via
.
Força aí — se estiver na prova, reproduz esse roteiro: escreva Planck, faça a mudança de variável adimensional, maximize (Wien) ou integre com a expansão em série (Stefan–Boltzmann). Vai bem!
Resposta
(a)
, com
e
, numericamente
(b)
, com