Aplicando a estatística quântica ao problema da radiação de corpo negro, demonstre (a) a lei de deslocamento de Wien e (b) a lei de Stefan-Boltzmann. Explique.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Demonstrar a lei de deslocamento de Wien (forma usual: relação entre o comprimento de onda do máximo da emissão e a temperatura).
  • (b) Demonstrar a lei de Stefan–Boltzmann (potência radiada por unidade de área de um corpo negro como função de T).
Informações e constantes que vamos usar (essas vêm do enunciado implícito “aplicar estatística quântica”):
  • Constantes fundamentais: \,h (constante de Planck), \,k_B (constante de Boltzmann), \,c (velocidade da luz).
  • A expressão da distribuição espectral de Planck (energia por unidade de volume e por unidade de comprimento de onda), que é o ponto de partida da demonstração:
u_\lambda(\lambda,T) \;=\; \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\,\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}}-1}.
  • A versão por unidade de frequência, também útil:
u_\nu(\nu,T) \;=\; \frac{8\pi h \nu^3}{c^3}\,\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_B T}}-1}.
O que vamos provar a partir dessas expressões: (a) encontrar \lambda_{\max} tal que u_\lambda(\lambda,T) é máximo e deduzir \lambda_{\max} T = \text{constante}; (b) integrar a distribuição espectral sobre todas as frequências para obter a energia por unidade de volume u(T) e a razão entre fluxo radiant e T^4.

Passo 2

Comentário rápido sobre as fórmulas e variáveis (para ficar tranquilo com o que cada termo significa):
  • Em \,u_\lambda(\lambda,T): é a densidade de energia por unidade de comprimento de onda — energia por volume e por intervalo de comprimento de onda. As variáveis são:
    • \lambda: comprimento de onda.
    • T: temperatura absoluta.
    • \,h: constante de Planck.
    • \,c: velocidade da luz.
    • \,k_B: constante de Boltzmann.
  • A forma de Planck surge ao quantizar os modos do campo eletromagnético e usar a distribuição de Bose–Einstein para ocupação dos fótons. Aqui vamos usar essa fórmula como ponto de partida (ela já é a consequência da estatística quântica).
Importante: o máximo de u_\nu(\nu,T) (por frequência) e o máximo de u_\lambda(\lambda,T) (por comprimento de onda) não ocorrem no mesmo ponto numérico; por isso ao falar da lei de Wien é comum fixar qual forma se usa. A lei tradicional de Wien normalmente é dada na forma \lambda_{\max} T = b. Vamos proceder com u_\lambda para obter essa forma.

Passo 3

Queremos achar \lambda_{\max} que maximiza u_\lambda(\lambda,T). Começamos reescrevendo a dependência em termos de uma variável adimensional:
  • Defina
x \;=\; \frac{hc}{\lambda k_B T}.
Então \lambda = \dfrac{hc}{k_B T x}. Substituindo em u_\lambda (extraindo fatores que dependem de T fora):
u_\lambda(\lambda,T) \;\propto\; \frac{1}{\lambda^5}\,\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}}-1} \;=\; \left(\frac{k_B T}{hc}\right)^5 \frac{x^5}{e^{x}-1}.
Portanto, para dado T maximizar u_\lambda em \lambda é equivalente a maximizar a função adimensional
f(x) \;=\; \frac{x^5}{e^{x}-1}
em x>0.
Agora derivamos f(x) e igualamos a zero:
f'(x) \;=\; \frac{5x^4(e^x-1) - x^5 e^x}{(e^x-1)^2} \;=\; 0.
O numerador deve ser zero:
5x^4(e^x-1) - x^5 e^x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^4\big(5(e^x-1) - x e^x\big)=0.
Como x>0, divide-se por x^4 e obtemos a equação transcendental
5(e^x - 1) - x e^x = 0.
Rearranjando:
e^x(5 - x) = 5.
Essa equação não tem solução elementar; resolve-se numericamente. Um método simples (Newton) converge rápido. Tomando x_0=5 e fazendo duas iterações de Newton obtém-se o valor
x \approx 4{,}965114\ldots
(é o único zero positivo relevante).
Voltando à relação entre x e \lambda_{\max}:
x \;=\; \frac{hc}{\lambda_{\max} k_B T} \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{\max} T \;=\; \frac{hc}{k_B x}.
Definindo a constante de deslocamento de Wien b por \lambda_{\max} T = b, temos
b \;=\; \frac{hc}{k_B x}.
Substituindo x\approx 4{,}965114 e o valor de \dfrac{hc}{k_B}\approx 1{,}4387769\times 10^{-2}\\ \text{m}\cdot\text{K}, obtemos numericamente
b \;\approx\; 2{,}8977685\times 10^{-3}\\ \text{m}\cdot\text{K}.
Interpretação curta: a lei de deslocamento de Wien (na forma usual) é
\lambda_{\max} T \;=\; b \approx 2{,}898\times 10^{-3}\\ \text{m}\cdot\text{K},
ou seja, conforme a temperatura aumenta o comprimento de onda do pico desloca-se para comprimentos de onda menores (mais energia, cor mais azulada).

Passo 4

Para obter a energia total por unidade de volume u(T) integra-se a distribuição espectral por frequência (é mais direto usar a forma por frequência):
u(T) \;=\; \int_0^\infty u_\nu(\nu,T)\,d\nu \;=\; \int_0^\infty \frac{8\pi h \nu^3}{c^3}\,\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_B T}}-1}\,d\nu.
Fazemos a mudança de variável adimensional
x \;=\; \frac{h\nu}{k_B T} \quad\Rightarrow\quad \nu = \frac{k_B T}{h}x,\qquad d\nu = \frac{k_B T}{h}\,dx.
Então \nu^3 d\nu = \left(\dfrac{k_B T}{h}\right)^4 x^3 dx. Substituindo na integral:
u(T) \;=\; \frac{8\pi h}{c^3}\left(\frac{k_B T}{h}\right)^4 \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}\,dx.
Simplificando fatores de h:
u(T) \;=\; \frac{8\pi k_B^4}{h^3 c^3}\,T^4 \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}\,dx.

Passo 5

Usamos a expansão geométrica da função 1/(e^x-1):
\frac{1}{e^x-1} \;=\; \sum_{m=1}^\infty e^{-m x}\qquad (x>0).
Trocar soma e integral (justificado por conv. uniforme) dá
\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}\,dx \;=\; \sum_{m=1}^\infty \int_0^\infty x^3 e^{-m x}\,dx.
A integral dentro da soma é conhecida (fórmula de Gamma):
\int_0^\infty x^3 e^{-m x}\,dx \;=\; \frac{3!}{m^4} \;=\; \frac{6}{m^4}.
Portanto
\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}\,dx \;=\; 6\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m^4} \;=\; 6\,\zeta(4).
Usando \zeta(4)=\dfrac{\pi^4}{90} obtemos
\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}\,dx \;=\; 6\cdot\frac{\pi^4}{90} \;=\; \frac{\pi^4}{15}.

Passo 6

Substituindo o resultado do integral em u(T) do Passo 4:
u(T) \;=\; \frac{8\pi k_B^4}{h^3 c^3}\,T^4 \cdot \frac{\pi^4}{15} \;=\; \left(\frac{8\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^3}\right) T^4.
Definimos a constante a tal que
u(T) \;=\; a\,T^4, \qquad a \;=\; \frac{8\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^3}.
Isso mostra que a densidade de energia é proporcional a T^4 — já estamos quase na forma da lei de Stefan–Boltzmann.

Passo 7

O que queremos normalmente em termodinâmica/astronomia é a potência radiada por unidade de área (fluxo ou emisividade total), j^*. Para radiação isotrópica (campo preenchendo espaço uniformemente) a relação entre energia volumétrica u e fluxo que atravessa uma superfície é
j^* \;=\; \frac{c}{4}\,u.
Rápida justificativa (física simples): a energia que atravessa uma superfície por unidade tempo vem de fótons com velocidade c projetada na direção normal; ao integrar sobre todas as direções do semiespaço que aponta para fora, o fator médio de projeção dá 1/4 (fórmula padrão da cinética de gases/radiação isotrópica).
Portanto
j^* \;=\; \frac{c}{4}\,a\,T^4 \;=\; \sigma\,T^4,
onde a constante de Stefan–Boltzmann \sigma é
\sigma \;=\; \frac{c}{4}\,a \;=\; \frac{2\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^2}.
Substituindo valores numéricos das constantes obtém-se o valor numérico bem conhecido
\sigma \approx 5{,}670374419\times 10^{-8}\\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\,\text{K}^{-4}.

Passo 8

  • Resultado (a): a lei de deslocamento de Wien na forma usual é
\lambda_{\max} T \;=\; b \quad\text{com}\quad b \;=\; \frac{hc}{k_B x}\approx 2{,}898\times 10^{-3}\\ \text{m}\cdot\text{K},
onde x\approx 4{,}965114 é a solução de 5(e^x-1)-x e^x=0. Dica de prova: escreva u_\lambda em função da variável x=hc/(\lambda k_B T) e maximize a função adimensional x^5/(e^x-1).
  • Resultado (b): a lei de Stefan–Boltzmann é
j^* \;=\; \sigma\,T^4 \quad\text{com}\quad \sigma \;=\; \frac{2\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^2} \approx 5{,}670374\times 10^{-8}\\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\,\text{K}^{-4}.
Dica de prova: integre u_\nu em todas as frequências, troque para variável adimensional x=h\nu/(k_B T), use a expansão em série para 1/(e^x-1) e a integral \int_0^\infty x^3 e^{-m x}dx = 6/m^4 para obter \int_0^\infty x^3/(e^x-1)\,dx = \pi^4/15. Depois relacione densidade de energia com fluxo via j^*=(c/4)u.
Força aí — se estiver na prova, reproduz esse roteiro: escreva Planck, faça a mudança de variável adimensional, maximize (Wien) ou integre com a expansão em série (Stefan–Boltzmann). Vai bem!

Resposta

(a) \lambda_{\max} T = b, com b = \dfrac{hc}{k_B x} e x\approx 4{,}965114, numericamente b \approx 2{,}8977685\times 10^{-3}\\ \text{m}\cdot\text{K}.
(b) j^*=\sigma T^4, com \displaystyle \sigma=\frac{2\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^2}\approx 5{,}670374419\times 10^{-8}\\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\,\text{K}^{-4}.

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