(a) Descreva o gás ideal nas estatísticas de Bose-Einstein, Fermi-Dirac e MaxwellBoltzmann segundo o ensemble microcanônico. (b) Usando o cálculo variacional, encontre as distribuições mais prováveis em cada uma dessas estatísticas. Explique.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Descrever como se representa um gás ideal nas estatísticas de Bose–Einstein, Fermi–Dirac e Maxwell–Boltzmann quando se trabalha no ensemble microcanônico.
  • (b) Usando cálculo variacional (maximização da multiplicidade / entropia com restrições), encontrar as distribuições mais prováveis (ou médias ocupacionais) \{n_i\} em cada estatística e explicar.
Informações e hipóteses que vamos usar (todas do enunciado ou padrão para o problema):
  • Estamos no ensemble microcanônico: o sistema tem energia total fixa E, número total de partículas fixo N e volume fixo V. No microcanônico assumimos que todas as microestados compatíveis com E,N,V são equiprováveis.
  • O sistema é um gás ideal: partículas não interagem, portanto a energia total é soma das energias ocupacionais dos níveis únicos: se o nível i tem energia \epsilon_i e degenerescência g_i, o número de partículas ocupando esse nível é n_i e a energia total é \sum_i n_i\epsilon_i = E.
  • As variáveis de interesse são os números de ocupação \{n_i\} (cada n_i é inteiro e satisfaz \sum_i n_i = N e \sum_i n_i\epsilon_i = E). Um macroestado é especificado por \{n_i\}; sua multiplicidade (número de microestados) será chamada W(\{n_i\}).
  • Objetivo prático: escrever W(\{n_i\}) em cada estatística, aplicar Stirling quando apropriado, maximizar \ln W sob as duas restrições usando multiplicadores de Lagrange e obter fórmulas fechadas para n_i.

Passo 2

Conceitos básicos e técnica que vamos usar (mini-aula):
  • Microcanônico e princípio da máxima multiplicidade: no microcanônico todos os microestados com energia total E e partículas N são equiprováveis. O macroestado mais provável é aquele que maximiza a multiplicidade W (número de microestados correspondentes).
  • Trabalhar com \ln W é muito mais simples que com W diretamente; maximizar W é equivalente a maximizar \ln W.
  • Para fatores fatoriais grandes usaremos a aproximação de Stirling: para x\gg1,
\ln x! \simeq x\ln x - x.
Isso permite transformar somas e produtos envolvendo fatoriais em expressões mais tratáveis.
  • Diferentes estatísticas significam diferentes contagens de microestados:
    • Bose–Einstein: partículas indistinguíveis, sem limite de ocupação por estado (bosons). Contagem por nível com degenerescência g_i: número de maneiras de colocar n_i indistinguíveis em g_i células é \binom{g_i + n_i -1}{n_i} (estrelas e barras).
    • Fermi–Dirac: partículas indistinguíveis sujeitas ao princípio de exclusão de Pauli (no máximo 1 por subnível). Para degenerescência g_i e ocupação n_i a contagem é \binom{g_i}{n_i}.
    • Maxwell–Boltzmann (clássico): partículas clássicas (distinguíveis no nível clássico) e não exclusão; a contagem levando em conta correção de Gibbs (divisão por N! se necessário) dá, ao particionar entre níveis, um fator combinatório com \prod g_i^{n_i} e \prod n_i! no denominador — veremos a forma exata abaixo.
  • Método: para cada estatística escrever W(\{n_i\}), calcular \ln W, aplicar Stirling quando conveniente, formar a função com multiplicadores de Lagrange
\mathcal{L} = \ln W + \alpha\left(N-\sum_i n_i\right) + \beta\left(E-\sum_i n_i \epsilon_i\right),
derivar \partial\mathcal{L}/\partial n_i=0 para cada i, isolar n_i e interpretar os multiplicadores \alpha,\beta.

Passo 3

Bose–Einstein: contar microestados e derivar a distribuição.
  1. Contagem combinatória por nível: para um nível i com degenerescência g_i (número de subníveis com a mesma energia) e ocupação n_i (número de bosons naquele conjunto), o número de microconfigurações é
W_i = \binom{g_i + n_i -1}{n_i}.
Justificativa curta (estrelas e barras): colocar n_i objetos indistinguíveis em g_i caixas distintas permite repetições; o número é \binom{g_i + n_i -1}{n_i}.
  1. Multiplicidade total:
W(\{n_i\})=\prod_i \binom{g_i + n_i -1}{n_i}.
  1. Trabalhar com \ln W. Usando Stirling (aplicável quando g_i e n_i são grandes — hipótese usual em termodinâmica estatística), para cada i escrevemos
\ln W_i \simeq \ln (g_i + n_i)! - \ln n_i! - \ln (g_i -1)!.
Para simplificar a expressão de forma precisa é conveniente usar a forma simétrica (só os termos que dependem de n_i interessam). Uma expressão equivalente e mais direta que leva ao mesmo resultado é:
\ln W \simeq \sum_i \Big[(g_i + n_i)\ln(g_i + n_i) - n_i\ln n_i - g_i\ln g_i\Big],
onde foram descartados termos constantes em relação a n_i. (Isso vem direto de aplicar Stirling a \ln(g_i + n_i)! e \ln n_i! e subtrair o termo \ln g_i! constante.)
  1. Derivada necessária para otimização: usando que a derivada de x\ln x é \ln x +1, obtemos
\frac{\partial \ln W}{\partial n_i} = \ln(g_i + n_i) - \ln n_i = \ln\!\left(\frac{g_i + n_i}{n_i}\right).
  1. Lagrangeanos: impondo restrições com multiplicadores \alpha,\beta (para N e E):
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial n_i}= \frac{\partial\ln W}{\partial n_i} - \alpha - \beta\epsilon_i = 0.
Substituindo a derivada:
\ln\!\left(\frac{g_i + n_i}{n_i}\right) = \alpha + \beta\epsilon_i.
  1. Resolver para n_i:
\frac{g_i + n_i}{n_i} = e^{\alpha + \beta\epsilon_i} \quad\Rightarrow\quad 1 + \frac{g_i}{n_i} = e^{\alpha + \beta\epsilon_i}
\Rightarrow\quad n_i = \frac{g_i}{e^{\alpha + \beta\epsilon_i}-1}.
  1. Interpretação dos multiplicadores: identificando \beta = 1/(k_B T) e \alpha = -\mu/(k_B T) (ver passo 6 mais abaixo), escrevemos a forma familiar
n_i = \frac{g_i}{\exp\!\big((\epsilon_i-\mu)/(k_B T)\big)-1}.
Essa é a distribuição de Bose–Einstein. Observação: n_i aqui representa a ocupação média (ou a distribuição mais provável) do nível i.

Passo 4

Fermi–Dirac: contar microestados e derivar a distribuição.
  1. Contagem por nível: devido ao princípio de exclusão, cada subnível pode ter 0 ou 1 fermion. Para degenerescência g_i e ocupação n_i o número de maneiras é
W_i = \binom{g_i}{n_i}.
  1. Multiplicidade total:
W(\{n_i\})=\prod_i \binom{g_i}{n_i}.
  1. Usando Stirling (novamente, para grandes g_i,n_i e tratando termos constantes), obtemos
\ln W \simeq \sum_i \Big[g_i\ln g_i - n_i\ln n_i - (g_i-n_i)\ln(g_i-n_i)\Big],
novamente ignorando termos independentes de n_i.
  1. Derivada:
\frac{\partial \ln W}{\partial n_i} = -\ln n_i + \ln(g_i - n_i) = \ln\!\left(\frac{g_i - n_i}{n_i}\right).
  1. Condição de máximo com multiplicadores:
\ln\!\left(\frac{g_i - n_i}{n_i}\right) - \alpha - \beta \epsilon_i = 0.
  1. Resolver para n_i:
\frac{g_i - n_i}{n_i} = e^{\alpha + \beta\epsilon_i} \quad\Rightarrow\quad \frac{g_i}{n_i} - 1 = e^{\alpha + \beta\epsilon_i}
\Rightarrow\quad n_i = \frac{g_i}{e^{\alpha + \beta\epsilon_i} + 1}.
  1. Em termos de \mu,T (identificação de \alpha,\beta como acima):
n_i = \frac{g_i}{\exp\!\big((\epsilon_i-\mu)/(k_B T)\big)+1},
que é a distribuição de Fermi–Dirac. Observação: aqui 0\le n_i\le g_i automaticamente; no zero absoluto e alta densidade obtém-se a “Fermi sea”.

Passo 5

Maxwell–Boltzmann (clássica): contagem e derivação da distribuição.
  1. Contagem clássica direta: classically particles are distinguishable. Para particionar N partículas em níveis com ocupações n_i e degenerescências g_i o número de microconfigurações distinguíveis é
\tilde W(\{n_i\}) = \frac{N!}{\prod_i n_i!}\prod_i g_i^{\,n_i}.
Explicação: escolher quais partículas vão para cada nível dá o fator multinomial N!/\prod n_i!; para cada partícula que entra no nível i g_i subníveis para colocar essa partícula (por isso g_i^{n_i}).
  1. Correção de Gibbs: em mecânica estatística clássica costuma-se dividir por N! para tratar partículas indistinguíveis ao passar para a termodinâmica (evitar paradoxos de Gibbs). Com essa correção o fator N! some, e a multiplicidade efetiva é proporcional a
W(\{n_i\}) \propto \frac{\prod_i g_i^{n_i}}{\prod_i n_i!}.
O fator proporcional (constante global) não afeta a distribuição mais provável, então podemos tomar
W(\{n_i\}) = \frac{\prod_i g_i^{n_i}}{\prod_i n_i!}
para fins de maximização.
  1. Logaritmo usando Stirling (para n_i\gg1):
\ln W \simeq \sum_i \big(n_i\ln g_i - n_i\ln n_i + n_i\big),
ignorando constantes.
(Detalhe da derivada: \partial\ln W/\partial n_i = \ln g_i - \ln n_i.)
  1. Condição de máximo:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial n_i} = \ln g_i - \ln n_i - \alpha - \beta\epsilon_i = 0.
  1. Resolver para n_i:
\ln\!\left(\frac{g_i}{n_i}\right) = \alpha + \beta\epsilon_i \quad\Rightarrow\quad n_i = g_i e^{-\alpha - \beta\epsilon_i}.
  1. Em termos de \mu,T (identificação de \alpha,\beta):
n_i = g_i \exp\!\big(-(\epsilon_i-\mu)/(k_B T)\big) = g_i e^{\mu/(k_B T)} e^{-\epsilon_i/(k_B T)}.
Forma clássica exponencial, sem \pm 1 no denominador.

Passo 6

Interpretação dos multiplicadores de Lagrange e limites clássicos / semiclassicos.
  1. Relação com entropia: como \mathcal{S}=k_B\ln W, a maximização de \ln W com restrições é equivalente a maximizar a entropia no microcanônico. Pelas definições termodinâmicas:
\frac{1}{T} = \left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{N,V} \quad\text{e}\quad -\frac{\mu}{T} = \left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{E,V}.
Ao comparar com a condição de máximo (derivadas com \beta,\alpha) obtemos a identificação padrão
\beta = \frac{1}{k_B T},\qquad \alpha = -\frac{\mu}{k_B T}.
Portanto as constantes \alpha,\beta que surgem da maximização têm essa interpretação física universal.
  1. Limite clássico: quando ocupações são pequenas comparadas a g_i (ou densidade baixa / temperatura alta), tanto BE quanto FD reduzem-se à forma MB porque e^{\alpha+\beta\epsilon_i}\gg1 e:
  • Para BE: n_i \approx g_i e^{-(\alpha+\beta\epsilon_i)}.
  • Para FD: n_i \approx g_i e^{-(\alpha+\beta\epsilon_i)}.
    Ou seja, MB é o limite n_i \ll g_i (regime não degenerado).
  1. Observações físicas rápidas:
  • Bose–Einstein permite ocupações arbitrariamente grandes por estado e, em baixa temperatura/densa, leva a fenômenos como condensação de Bose–Einstein (maciça ocupação do estado de mínima energia).
  • Fermi–Dirac impõe ocupação máxima por subnível, produz um “mar de Fermi” e propriedades como pressão de degenerescência em baixas temperaturas.
  • Maxwell–Boltzmann descreve o limite clássico onde efeitos quânticos de indistinguibilidade e exclusão são negligenciáveis.

Passo 7

Resumo prático (como usar na prova):
  • Passo 1: escrever W(\{n_i\}) apropriado à estatística.
  • Passo 2: passar para \ln W, aplicar Stirling se números forem grandes.
  • Passo 3: escrever Lagrangeano \mathcal{L}=\ln W+\alpha(N-\sum n_i)+\beta(E-\sum n_i\epsilon_i).
  • Passo 4: calcular \partial\mathcal{L}/\partial n_i=0 e isolar n_i.
  • Passo 5: interpretar \beta=1/(k_B T) e \alpha=-\mu/(k_B T).

Resposta

Bose–Einstein: n_i=\frac{g_i}{\exp\!\big((\epsilon_i-\mu)/(k_B T)\big)-1}.
Fermi–Dirac: n_i=\frac{g_i}{\exp\!\big((\epsilon_i-\mu)/(k_B T)\big)+1}.
Maxwell–Boltzmann: n_i=g_i\exp\!\big(-(\epsilon_i-\mu)/(k_B T)\big).

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