(a) Descreva o gás ideal nas estatísticas de Bose-Einstein, Fermi-Dirac e MaxwellBoltzmann segundo o ensemble microcanônico. (b) Usando o cálculo variacional, encontre as distribuições mais prováveis em cada uma dessas estatísticas. Explique.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Descrever como se representa um gás ideal nas estatísticas de Bose–Einstein, Fermi–Dirac e Maxwell–Boltzmann quando se trabalha no ensemble microcanônico.
- (b) Usando cálculo variacional (maximização da multiplicidade / entropia com restrições), encontrar as distribuições mais prováveis (ou médias ocupacionais)
em cada estatística e explicar.
Informações e hipóteses que vamos usar (todas do enunciado ou padrão para o problema):
- Estamos no ensemble microcanônico: o sistema tem energia total fixa
, número total de partículas fixo e volume fixo . No microcanônico assumimos que todas as microestados compatíveis com são equiprováveis. - O sistema é um gás ideal: partículas não interagem, portanto a energia total é soma das energias ocupacionais dos níveis únicos: se o nível
tem energia e degenerescência , o número de partículas ocupando esse nível é e a energia total é . - As variáveis de interesse são os números de ocupação
(cada é inteiro e satisfaz e ). Um macroestado é especificado por ; sua multiplicidade (número de microestados) será chamada . - Objetivo prático: escrever
em cada estatística, aplicar Stirling quando apropriado, maximizar sob as duas restrições usando multiplicadores de Lagrange e obter fórmulas fechadas para .
Passo 2
Conceitos básicos e técnica que vamos usar (mini-aula):
- Microcanônico e princípio da máxima multiplicidade: no microcanônico todos os microestados com energia total
e partículas são equiprováveis. O macroestado mais provável é aquele que maximiza a multiplicidade (número de microestados correspondentes). - Trabalhar com
é muito mais simples que com diretamente; maximizar é equivalente a maximizar . - Para fatores fatoriais grandes usaremos a aproximação de Stirling: para
,
Isso permite transformar somas e produtos envolvendo fatoriais em expressões mais tratáveis.
- Diferentes estatísticas significam diferentes contagens de microestados:
- Bose–Einstein: partículas indistinguíveis, sem limite de ocupação por estado (bosons). Contagem por nível com degenerescência
: número de maneiras de colocar indistinguíveis em células é (estrelas e barras). - Fermi–Dirac: partículas indistinguíveis sujeitas ao princípio de exclusão de Pauli (no máximo 1 por subnível). Para degenerescência
e ocupação a contagem é . - Maxwell–Boltzmann (clássico): partículas clássicas (distinguíveis no nível clássico) e não exclusão; a contagem levando em conta correção de Gibbs (divisão por
se necessário) dá, ao particionar entre níveis, um fator combinatório com e no denominador — veremos a forma exata abaixo.
- Bose–Einstein: partículas indistinguíveis, sem limite de ocupação por estado (bosons). Contagem por nível com degenerescência
- Método: para cada estatística escrever
, calcular , aplicar Stirling quando conveniente, formar a função com multiplicadores de Lagrange
derivar
para cada
, isolar
e interpretar os multiplicadores
.
Passo 3
Bose–Einstein: contar microestados e derivar a distribuição.
- Contagem combinatória por nível: para um nível
com degenerescência (número de subníveis com a mesma energia) e ocupação (número de bosons naquele conjunto), o número de microconfigurações é
Justificativa curta (estrelas e barras): colocar
objetos indistinguíveis em
caixas distintas permite repetições; o número é
.
- Multiplicidade total:
- Trabalhar com
. Usando Stirling (aplicável quando e são grandes — hipótese usual em termodinâmica estatística), para cada escrevemos
Para simplificar a expressão de forma precisa é conveniente usar a forma simétrica (só os termos que dependem de
interessam). Uma expressão equivalente e mais direta que leva ao mesmo resultado é:
onde foram descartados termos constantes em relação a
. (Isso vem direto de aplicar Stirling a
e
e subtrair o termo
constante.)
- Derivada necessária para otimização: usando que a derivada de
é , obtemos
- Lagrangeanos: impondo restrições com multiplicadores
(para e ):
Substituindo a derivada:
- Resolver para
:
- Interpretação dos multiplicadores: identificando
e (ver passo 6 mais abaixo), escrevemos a forma familiar
Essa é a distribuição de Bose–Einstein. Observação:
aqui representa a ocupação média (ou a distribuição mais provável) do nível
.
Passo 4
Fermi–Dirac: contar microestados e derivar a distribuição.
- Contagem por nível: devido ao princípio de exclusão, cada subnível pode ter 0 ou 1 fermion. Para degenerescência
e ocupação o número de maneiras é
- Multiplicidade total:
- Usando Stirling (novamente, para grandes
e tratando termos constantes), obtemos
novamente ignorando termos independentes de
.
- Derivada:
- Condição de máximo com multiplicadores:
- Resolver para
:
- Em termos de
(identificação de como acima):
que é a distribuição de Fermi–Dirac. Observação: aqui
automaticamente; no zero absoluto e alta densidade obtém-se a “Fermi sea”.
Passo 5
Maxwell–Boltzmann (clássica): contagem e derivação da distribuição.
- Contagem clássica direta: classically particles are distinguishable. Para particionar
partículas em níveis com ocupações e degenerescências o número de microconfigurações distinguíveis é
Explicação: escolher quais partículas vão para cada nível dá o fator multinomial
; para cada partícula que entra no nível
há
subníveis para colocar essa partícula (por isso
).
- Correção de Gibbs: em mecânica estatística clássica costuma-se dividir por
para tratar partículas indistinguíveis ao passar para a termodinâmica (evitar paradoxos de Gibbs). Com essa correção o fator some, e a multiplicidade efetiva é proporcional a
O fator proporcional (constante global) não afeta a distribuição mais provável, então podemos tomar
para fins de maximização.
- Logaritmo usando Stirling (para
):
ignorando constantes.
(Detalhe da derivada:
.)
- Condição de máximo:
- Resolver para
:
- Em termos de
(identificação de ):
Forma clássica exponencial, sem
no denominador.
Passo 6
Interpretação dos multiplicadores de Lagrange e limites clássicos / semiclassicos.
- Relação com entropia: como
, a maximização de com restrições é equivalente a maximizar a entropia no microcanônico. Pelas definições termodinâmicas:
Ao comparar com a condição de máximo (derivadas com
) obtemos a identificação padrão
Portanto as constantes
que surgem da maximização têm essa interpretação física universal.
- Limite clássico: quando ocupações são pequenas comparadas a
(ou densidade baixa / temperatura alta), tanto BE quanto FD reduzem-se à forma MB porque e:
- Para BE:
. - Para FD:
.
Ou seja, MB é o limite(regime não degenerado).
- Observações físicas rápidas:
- Bose–Einstein permite ocupações arbitrariamente grandes por estado e, em baixa temperatura/densa, leva a fenômenos como condensação de Bose–Einstein (maciça ocupação do estado de mínima energia).
- Fermi–Dirac impõe ocupação máxima por subnível, produz um “mar de Fermi” e propriedades como pressão de degenerescência em baixas temperaturas.
- Maxwell–Boltzmann descreve o limite clássico onde efeitos quânticos de indistinguibilidade e exclusão são negligenciáveis.
Passo 7
Resumo prático (como usar na prova):
- Passo 1: escrever
apropriado à estatística. - Passo 2: passar para
, aplicar Stirling se números forem grandes. - Passo 3: escrever Lagrangeano
. - Passo 4: calcular
e isolar . - Passo 5: interpretar
e .
Resposta
Bose–Einstein:
Fermi–Dirac:
Maxwell–Boltzmann: