Uma pesquisa médica constatou que o nível de colesterol na população de certa região é uma variável normal com média igual a 165 e variância igual a 164. Dessa forma deseja-se saber:
Sabendo-se que para pessoas com nível de colesterol acima de 180 é recomendável iniciar um procedimento de controle, qual é o percentual de pessoas dessa população nessa situação?
Sabendo-se que para pessoas com nível de colesterol acima de 180 é recomendável iniciar um procedimento de controle, qual é o percentual de pessoas dessa população nessa situação?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A variável nível de colesterol é normal com média
e variância . - Pergunta-se qual o percentual da população com nível de colesterol acima de
.
Portanto o objetivo é calcular a probabilidade
onde
é a variável normal descrita acima.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): para variáveis normais é muito comum transformar a variável em uma normal padrão para poder usar tabelas ou a função de distribuição normal padrão. A normal padrão é a normal com média
e variância
, que chamamos de
. A transformação é:
onde:
-
é a variável original (aqui: nível de colesterol), -
é a média da distribuição, -
é o desvio padrão (raiz quadrada da variância), -
segue a distribuição normal padrão.
Depois da transformação,
Essa probabilidade é obtida a partir da função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotamos por
. Em termos de
,
Passo 3
Calcular o desvio padrão
. Como foi dada a variância
, temos
Aproximando a raiz quadrada:
Passo 4
Calcular o escore
correspondente a
:
Substituindo
:
Aqui
significa que
está aproximadamente
desvios-padrão acima da média.
Passo 5
Calcular a probabilidade usando a normal padrão. Queremos
Usando uma tabela da normal padrão ou calculadora, os valores típicos são:
Fazendo uma interpolação linear rápida para
(que está muito perto de
) obtemos
Passo 6
Finalmente a probabilidade pedido é
Convertendo para percentual:
Força aí — isso significa que cerca de
da população tem nível de colesterol acima de
. Dá pra revisar esses passos com outros limites se quiser treinar!