Uma pesquisa médica constatou que o nível de colesterol na população de certa região é uma variável normal com média igual a 165 e variância igual a 164. Dessa forma deseja-se saber:
Sabendo-se que para pessoas com nível de colesterol acima de 180 é recomendável iniciar um procedimento de controle, qual é o percentual de pessoas dessa população nessa situação?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A variável nível de colesterol é normal com média \mu=165 e variância \sigma^{2}=164.
  • Pergunta-se qual o percentual da população com nível de colesterol acima de \,180.
Portanto o objetivo é calcular a probabilidade
P(X>180),
onde X é a variável normal descrita acima.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): para variáveis normais é muito comum transformar a variável em uma normal padrão para poder usar tabelas ou a função de distribuição normal padrão. A normal padrão é a normal com média 0 e variância 1, que chamamos de Z. A transformação é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original (aqui: nível de colesterol),
  • \mu é a média da distribuição,
  • \sigma é o desvio padrão (raiz quadrada da variância),
  • Z segue a distribuição normal padrão.
Depois da transformação,
P(X>180)=P\!\left(Z>\frac{180-\mu}{\sigma}\right).
Essa probabilidade é obtida a partir da função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotamos por \Phi. Em termos de \Phi,
P(Z>z)=1-\Phi(z).

Passo 3

Calcular o desvio padrão \sigma. Como foi dada a variância \sigma^{2}=164, temos
\sigma=\sqrt{164}.
Aproximando a raiz quadrada:
\sigma=\sqrt{164}\approx 12,806248\ldots

Passo 4

Calcular o escore z correspondente a X=180:
z=\frac{180-\mu}{\sigma}=\frac{180-165}{\sigma}=\frac{15}{\sigma}.
Substituindo \sigma:
z=\frac{15}{12,806248\ldots}\approx 1,17108.
Aqui z\approx 1,17108 significa que 180 está aproximadamente 1,17108 desvios-padrão acima da média.

Passo 5

Calcular a probabilidade usando a normal padrão. Queremos
P(X>180)=P(Z>1,17108)=1-\Phi(1,17108).
Usando uma tabela da normal padrão ou calculadora, os valores típicos são:
\Phi(1,17)\approx 0,8790,\qquad \Phi(1,18)\approx 0,8808.
Fazendo uma interpolação linear rápida para 1,17108 (que está muito perto de 1,17) obtemos
\Phi(1,17108)\approx 0,87919\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Finalmente a probabilidade pedido é
P(X>180)=1-\Phi(1,17108)\approx 1-0,87919=0,12081.
Convertendo para percentual:
0,12081\times100\%\approx 12,08\%.
Força aí — isso significa que cerca de 12,08\% da população tem nível de colesterol acima de 180. Dá pra revisar esses passos com outros limites se quiser treinar!

Resposta

\,12,08\%

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