Aplicando o método de resolução de EDOS lineares de 1^{*} ordem, resolva as EDOs a seguir:
\frac{d y}{d x}+4 y=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
\frac{dy}{dx}+4y=8.
Informações importantes fornecidas:
\frac{dy}{dx}+4y=8 é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear (a incógnita é y(x) e a derivada é em relação a x). O que se quer é a solução geral y(x) (não foi dada condição inicial).

Passo 2

Vamos escolher um método adequado. Para equações lineares de primeira ordem na forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)
o método padrão e eficiente é o método do fator integrante. Identificamos aqui P(x)=4 e Q(x)=8 (constantes). O fator integrante é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Explico por que isso funciona: se multiplicarmos a equação original por \mu(x) e \mu satisfizer a definição acima, então o lado esquerdo se torna a derivada de \mu(x)\,y(x), porque
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu' y=\mu\left(\frac{dy}{dx}+P y\right).
Ou seja, com esse \mu conseguimos reescrever a equação de forma integrável diretamente.

Passo 3

Calcular o fator integrante para P(x)=4:
\mu(x)=\exp\!\left(\int 4\,dx\right)=\exp(4x)=e^{4x}.
Multiplicamos a equação original por e^{4x}. Escrevendo passo a passo:
e^{4x}\frac{dy}{dx}+4e^{4x}y=8e^{4x}.
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de e^{4x}y. Assim obtemos
\frac{d}{dx}\big(e^{4x}y\big)=8e^{4x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{4x}y\big)\,dx=\int 8e^{4x}\,dx.
No lado esquerdo a integral cancela a derivada, ficando e^{4x}y. No lado direito usamos a regra de integração de exponencial: para a\neq0,
\int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C.
Aplicando com a=4 e fator 8,
\int 8e^{4x}\,dx=8\cdot\frac{1}{4}e^{4x}+C=2e^{4x}+C.
Portanto
e^{4x}y=2e^{4x}+C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 5

Isolamos y dividindo por e^{4x}:
y=2+\frac{C}{e^{4x}}=2+Ce^{-4x}.
Aqui renomeamos a constante \dfrac{C}{e^{4x}} de forma padrão como C e^{-4x} (mantendo C arbitrária). Assim a solução geral é
y(x)=2+Ce^{-4x},
com C\in\mathbb{R}.

Passo 6

Verificação rápida (sanidade): se y(x)=2+Ce^{-4x} então
\frac{dy}{dx}=-4Ce^{-4x},
e
\frac{dy}{dx}+4y=-4Ce^{-4x}+4(2+Ce^{-4x})=8,
confirma que a solução está correta.

Passo 7

Interpretação alternativa (útil na prova): a solução é soma da solução homogênea e de uma particular. A homogênea de
\frac{dy}{dx}+4y=0
é y_h=Ce^{-4x}. Uma solução particular constante y_p satisfaz 4y_p=8, ou seja y_p=2. Então y=y_p+y_h=2+Ce^{-4x}, que dá o mesmo resultado, mas essa via é mais direta quando Q(x) é constante.

Resposta

y(x)=2+Ce^{-4x},\;C\in\mathbb{R}

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