Aplicando o método de resolução de EDOS lineares de
ordem, resolva as EDOs a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
Informações importantes fornecidas:
é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear (a incógnita é
e a derivada é em relação a
). O que se quer é a solução geral
(não foi dada condição inicial).
Passo 2
Vamos escolher um método adequado. Para equações lineares de primeira ordem na forma
o método padrão e eficiente é o método do fator integrante. Identificamos aqui
e
(constantes). O fator integrante é definido por
Explico por que isso funciona: se multiplicarmos a equação original por
e
satisfizer a definição acima, então o lado esquerdo se torna a derivada de
, porque
Ou seja, com esse
conseguimos reescrever a equação de forma integrável diretamente.
Passo 3
Calcular o fator integrante para
:
Multiplicamos a equação original por
. Escrevendo passo a passo:
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de
. Assim obtemos
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo a integral cancela a derivada, ficando
. No lado direito usamos a regra de integração de exponencial: para
,
Aplicando com
e fator
,
Portanto
onde
é constante arbitrária de integração.
Passo 5
Isolamos
dividindo por
:
Aqui renomeamos a constante
de forma padrão como
(mantendo
arbitrária). Assim a solução geral é
com
.
Passo 6
Verificação rápida (sanidade): se
então
e
confirma que a solução está correta.
Passo 7
Interpretação alternativa (útil na prova): a solução é soma da solução homogênea e de uma particular. A homogênea de
é
. Uma solução particular constante
satisfaz
, ou seja
. Então
, que dá o mesmo resultado, mas essa via é mais direta quando
é constante.