Determine a solução geral das EDOs separávels a seguir:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2} y^{2}}{x+1}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}y^{2}}{x+1},
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A expressão do lado direito envolve um fator y^{2} e um fator que depende só de x, \dfrac{x^{2}}{x+1}.
  • A equação não está definida em x=-1 (porque aparece \dfrac{1}{x+1}); portanto as soluções só fazem sentido em intervalos que não contenham x=-1.
  • Cuidado: ao manipular a equação podemos dividir por y^{2}; isso exige y\neq0. Devemos lembrar de verificar se y\equiv0 também é solução (isto é, não esquecer soluções constantes que a divisão pode eliminar).

Passo 2

Isolamos os termos em y de um lado e os termos em x do outro (separação de variáveis). Primeiro reescrevo a equação e faço as operações algébricas permitidas quando y\neq0:
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}y^{2}}{x+1}
Dividindo ambos os lados por y^{2} e multiplicando por dx, obtenho
\frac{1}{y^{2}}\,dy=\frac{x^{2}}{x+1}\,dx.
Observação importante: essa manipulação exige y\neq0. A solução constante y\equiv0 deve ser verificada separadamente (mais adiante).

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Explico as integrais que vou usar:
  • Para a integral do lado esquerdo uso a regra de potência: \displaystyle \int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C (quando n\neq-1). Aqui n=-2, então
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy=\int y^{-2}\,dy=\frac{y^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{y}+C.
Uma forma prática de ver isso é lembrar que \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{1}{y}\right)=-\dfrac{1}{y^{2}}.
  • Para a integral do lado direito preciso integrar \dfrac{x^{2}}{x+1}. Faço divisão polinomial para simplificar:
\frac{x^{2}}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}.
(Verificação rápida: (x+1)(x-1)=x^{2}-1, restando +1, que dá o termo \dfrac{1}{x+1}.)
Assim
\int \frac{x^{2}}{x+1}\,dx=\int (x-1)\,dx+\int\frac{1}{x+1}\,dx.
Integro termo a termo:
\int (x-1)\,dx=\frac{x^{2}}{2}-x,
\int\frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|.
Portanto
\int \frac{x^{2}}{x+1}\,dx=\frac{x^{2}}{2}-x+\ln|x+1|+C.

Passo 4

Igualando as integrais dos dois lados (com uma constante de integração global), obtenho
-\frac{1}{y}=\frac{x^{2}}{2}-x+\ln|x+1|+C,
onde C é constante real arbitrária. Agora resolvo para y. Invertendo ambos os lados e multiplicando por -1,
y(x)=-\frac{1}{\dfrac{x^{2}}{2}-x+\ln|x+1|+C}.
Pode-se também reescrever a constante para absorver o sinal, mas essa forma é clara e correta. Lembre-se que essa família de soluções vale em intervalos onde x\neq-1 e onde o denominador não se anula.

Passo 5

Não esquecer a solução que foi excluída quando dividimos por y^{2}: se y\equiv0 então \dfrac{dy}{dx}=0 e a igualdade original fica 0=\dfrac{x^{2}\cdot 0^{2}}{x+1}=0, logo y\equiv0 é, de fato, uma solução válida (global, definida em qualquer intervalo exceto possivelmente em x=-1 por causa da formulação original, mas a expressão direita é 0 bem definida como limite; convenções de domínio consideram y\equiv0 solução em qualquer intervalo que não force avaliar x+1=0 na forma original).
Verificação rápida (checar que a solução encontrada satisfaz a EDO): partindo de
-\frac{1}{y}=F(x)\quad\text{com}\quad F(x)=\frac{x^{2}}{2}-x+\ln|x+1|+C,
derivando ambos os lados em relação a x
\frac{y'}{y^{2}}=F'(x)=x-1+\frac{1}{x+1}=\frac{x^{2}}{x+1},
portanto y'=\dfrac{x^{2}y^{2}}{x+1}, que é exatamente a EDO original. Tudo confere.

Resposta

y(x)=-\dfrac{1}{\dfrac{x^{2}}{2}-x+\ln|x+1|+C},\; C\in\mathbb{R}, (valida em intervalos que não contenham x=-1 e onde o denominador é não nulo).\n
y(x)\equiv 0.

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