Determine a solução geral das EDOs separávels a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A expressão do lado direito envolve um fator
e um fator que depende só de , . - A equação não está definida em
(porque aparece ); portanto as soluções só fazem sentido em intervalos que não contenham . - Cuidado: ao manipular a equação podemos dividir por
; isso exige . Devemos lembrar de verificar se também é solução (isto é, não esquecer soluções constantes que a divisão pode eliminar).
Passo 2
Isolamos os termos em
de um lado e os termos em
do outro (separação de variáveis). Primeiro reescrevo a equação e faço as operações algébricas permitidas quando
:
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, obtenho
Observação importante: essa manipulação exige
. A solução constante
deve ser verificada separadamente (mais adiante).
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Explico as integrais que vou usar:
- Para a integral do lado esquerdo uso a regra de potência:
(quando ). Aqui , então
Uma forma prática de ver isso é lembrar que
.
- Para a integral do lado direito preciso integrar
. Faço divisão polinomial para simplificar:
(Verificação rápida:
, restando
, que dá o termo
.)
Assim
Assim
Integro termo a termo:
Portanto
Passo 4
Igualando as integrais dos dois lados (com uma constante de integração global), obtenho
onde
é constante real arbitrária. Agora resolvo para
. Invertendo ambos os lados e multiplicando por
,
Pode-se também reescrever a constante para absorver o sinal, mas essa forma é clara e correta. Lembre-se que essa família de soluções vale em intervalos onde
e onde o denominador não se anula.
Passo 5
Não esquecer a solução que foi excluída quando dividimos por
: se
então
e a igualdade original fica
, logo
é, de fato, uma solução válida (global, definida em qualquer intervalo exceto possivelmente em
por causa da formulação original, mas a expressão direita é
bem definida como limite; convenções de domínio consideram
solução em qualquer intervalo que não force avaliar
na forma original).
Verificação rápida (checar que a solução encontrada satisfaz a EDO): partindo de
derivando ambos os lados em relação a
dá
portanto
, que é exatamente a EDO original. Tudo confere.