Verifique se a função y(x)=2 e^{3 x}+5 e^{-x}, é solução da EDO:
Y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função y(x)=2 e^{3 x}+5 e^{-x} é solução da equação diferencial ordinária
Y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=0.
Informações dadas:
  • A função candidata é y(x)=2 e^{3 x}+5 e^{-x}.
  • A EDO a verificar é \;Y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=0.
    A tarefa é substituir y, calcular y' e y'' e checar se a expressão \;y''-2y'-3y\; é identicamente zero para todo x.

Passo 2

Regra de derivação que usaremos: a derivada de uma exponencial \;e^{a x}\; é \;a e^{a x}\;, e a derivada de soma é a soma das derivadas. Aqui a é uma constante e x é a variável independente. Aplicando isso a cada termo de y(x):
Derivando \;y(x)=2 e^{3 x}+5 e^{-x}\; obtemos
y'(x)=\frac{d}{dx}\big(2 e^{3 x}\big)+\frac{d}{dx}\big(5 e^{-x}\big).
Agora calcule cada derivada: \frac{d}{dx}\big(2 e^{3 x}\big)=2\cdot 3 e^{3 x}=6 e^{3 x} e \frac{d}{dx}\big(5 e^{-x}\big)=5\cdot(-1)e^{-x}=-5 e^{-x}. Portanto,
y'(x)=6 e^{3 x}-5 e^{-x}.

Passo 3

Derivando y'(x) para obter y''(x), usando a mesma regra:
y''(x)=\frac{d}{dx}\big(6 e^{3 x}\big)-\frac{d}{dx}\big(5 e^{-x}\big).
Calcule cada termo: \frac{d}{dx}\big(6 e^{3 x}\big)=6\cdot 3 e^{3 x}=18 e^{3 x} e \frac{d}{dx}\big(-5 e^{-x}\big)=-5\cdot(-1)e^{-x}=5 e^{-x}. Assim,
y''(x)=18 e^{3 x}+5 e^{-x}.

Passo 4

Substituímos y, y' e y'' na expressão da EDO \;y''-2y'-3y\; e simplificamos termo a termo:
\begin{aligned} y''-2y'-3y &=\big(18 e^{3 x}+5 e^{-x}\big)-2\big(6 e^{3 x}-5 e^{-x}\big)-3\big(2 e^{3 x}+5 e^{-x}\big). \end{aligned}
Agora distribuímos os coeficientes e agrupamos os termos com e^{3x} e com e^{-x}:
Para e^{3x}:
18 -2\cdot 6 -3\cdot 2 = 18 -12 -6 = 0.
Para e^{-x}:
5 -2\cdot(-5) -3\cdot 5 = 5 +10 -15 = 0.
Portanto a soma fica
y''-2y'-3y = 0\cdot e^{3x} + 0\cdot e^{-x} = 0
para todo x.

Passo 5

Concluímos que, ao substituir y(x)=2 e^{3 x}+5 e^{-x} na EDO, obtemos identicamente zero; logo a função satisfaz a equação diferencial para todo x. Parabéns — ela é uma solução!

Resposta

Sim, y(x)=2 e^{3 x}+5 e^{-x} é solução da EDO.

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