Aplicando a programação dinâmica resolver o problema LQR para o seguinte sistema
com índice de desempenho
condições iniciais:
-
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos o sistema linear
com
índice de desempenho
onde
e condição inicial
.
O objetivo é usar Programação Dinâmica (equação de Hamilton–Jacobi–Bellman) para achar a lei ótima e a matriz
que define o custo ótimo
.
O objetivo é usar Programação Dinâmica (equação de Hamilton–Jacobi–Bellman) para achar a lei ótima
Passo 2
Propondo a forma quadrática do custo-to-go:
onde
é simétrica positiva. A condição de optimalidade HJB impõe
Como
, a derivada em relação a
dá
Passo 3
Substituindo
de volta na HJB obtém-se a Equação de Riccati Algébrica contínua (CARE):
Para os dados do problema
e
Escrevemos
e montamos as três equações escalares de CARE.
Passo 4
As equações escalares resultam em
Da primeira vem
Escolhendo o valor positivo estável
. Da terceira equação obtemos
Por fim, da segunda:
Passo 5
Assim a solução de Riccati é
e a lei de realimentação ótima
tem
Passo 6
O valor ótimo do índice para
é
Resposta
Lei de controle ótima:
Matriz de Riccati ótima:
Custo ótimo inicial: