Aplicando a programação dinâmica resolver o problema LQR para o seguinte sistema
\dot{x}=A x+B u
com índice de desempenho
\mathcal{I}=\int_{0}^{\infty}\left(\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{R} u^{2}\right) d t
condições iniciais: \boldsymbol{x}(0)=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1\end{array}\right]
  1. \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right], R=0,1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o sistema linear
\dot{x} = A\,x + B\,u
com
A = \begin{pmatrix}0 & 2\\\ 1 & 2\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},
índice de desempenho
\mathcal{I} = \int_{0}^{\infty}\bigl(x^{T}Q\,x + R\,u^{2}\bigr)\,dt
onde
Q = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad R = 0,1,
e condição inicial x(0) = [1\;1]^{T}.
O objetivo é usar Programação Dinâmica (equação de Hamilton–Jacobi–Bellman) para achar a lei ótima u=-K\,x e a matriz P que define o custo ótimo V(x)=x^{T}P\,x.

Passo 2

Propondo a forma quadrática do custo-to-go:
V(x) = x^{T}P\,x,
onde P é simétrica positiva. A condição de optimalidade HJB impõe
0 = \min_{u}\Bigl\{x^{T}Q\,x + R\,u^{2} + \nabla V(x)\cdot(Ax+Bu)\Bigr\}.
Como \nabla V(x)=2\,P\,x, a derivada em relação a u
2\,R\,u + 2\,x^{T}P\,B = 0 \quad\Longrightarrow\quad u^{\star} = -R^{-1}B^{T}P\,x.

Passo 3

Substituindo u^{\star} de volta na HJB obtém-se a Equação de Riccati Algébrica contínua (CARE):
A^{T}P + P\,A - P\,B\,R^{-1}B^{T}P + Q = 0.
Para os dados do problema R^{-1}=10 e
B\,R^{-1}B^{T} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}10\begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 10\end{pmatrix}.
Escrevemos P=\begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}\p_{12}&p_{22}\end{pmatrix} e montamos as três equações escalares de CARE.

Passo 4

As equações escalares resultam em
\begin{cases} 2\,p_{12}-10\,p_{12}^{2}+1=0,\\\\ 2\,p_{11}+2\,p_{12}+p_{22}-10\,p_{12}\,p_{22}=0,\\\\ 4\,p_{12}+4\,p_{22}-10\,p_{22}^{2}+1=0. \end{cases}
Da primeira vem
10\,p_{12}^{2}-2\,p_{12}-1=0 \;\Longrightarrow\; p_{12}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{10}.
Escolhendo o valor positivo estável p_{12}\approx0,4316. Da terceira equação obtemos
10\,p_{22}^{2}-4\,p_{22}-\bigl(4\,p_{12}+1\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; p_{22}\approx0,7590.
Por fim, da segunda:
p_{11}=\frac{10\,p_{12}p_{22}-2\,p_{12}-p_{22}}{2}\approx0,8269.

Passo 5

Assim a solução de Riccati é
P = \begin{pmatrix} 0,8269 & 0,4316\\[6pt] 0,4316 & 0,7590 \end{pmatrix},
e a lei de realimentação ótima u=-K\,x tem
K = R^{-1}B^{T}P = 10\begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,8269 & 0,4316\\\\ 0,4316 & 0,7590 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4,316 & 7,590\end{pmatrix}.]

Passo 6

O valor ótimo do índice para x(0)=[1\;1]^{T} é
\mathcal{I}^{\star} = x(0)^{T}P\,x(0) = p_{11} + 2\,p_{12} + p_{22} \approx 0,8269 + 2\cdot0,4316 + 0,7590 \approx 2,4496.

Resposta

Lei de controle ótima:
u(t) = -\begin{pmatrix}4,316 & 7,590\end{pmatrix}\,x(t).
Matriz de Riccati ótima:
P = \begin{pmatrix} 0,8269 & 0,4316\\\\ 0,4316 & 0,7590 \end{pmatrix}.
Custo ótimo inicial: \mathcal{I}^{\star}\approx2,4496.

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