Usando Princípio Máximo de Pontryagin, encontrar o controle e trajetórias ótimas dos seguintes problemas:
4.
\begin{array}{r} \min \mathcal{I}=\int_{0}^{1}\left(x^{2}+u^{2}\right) d t \\\ \ddot{x}+\sqrt{2} x=u, x(0)=1, \dot{x}(0)=0 \end{array}

Passo 1

O problema é um caso LQ (quadrático-linear) de tempo fixo. Temos a dinâmica de segunda ordem
\ddot x + \sqrt{2}\,x = u,
com condições iniciais x(0)=1,\;\dot x(0)=0, e queremos minimizar
\mathcal I=\int_0^1\bigl(x(t)^2 + u(t)^2\bigr)\,dt.
Para aplicar o Princípio Máximo de Pontryagin, vamos reescrever em forma de sistema de ordem 1 e introduzir co-estados.

Passo 2

Defina
x_1 = x,\quad x_2 = \dot x,
então
\dot x_1 = x_2,\qquad \dot x_2 = u - \sqrt{2}\,x_1.
O Hamiltoniano é
H = x_1^2 + u^2 + \lambda_1\,x_2 + \lambda_2\,(u - \sqrt{2}\,x_1).
A condição de otimalidade em u (minimização pontual) dá
\frac{\partial H}{\partial u}=2u + \lambda_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad u^*(t) = -\frac{\lambda_2(t)}{2}.

Passo 3

As equações de co-estados vêm de
\dot\lambda_i = -\frac{\partial H}{\partial x_i}.
Logo
\dot\lambda_1 = -\bigl(2x_1 - \lambda_2\sqrt{2}\bigr) = -2\,x_1 + \sqrt{2}\,\lambda_2, \quad \dot\lambda_2 = -\lambda_1.
As condições de contorno são
x_1(0)=1,\;\;x_2(0)=0,
e, como não há restrição terminal em x(1), vale
\lambda_1(1)=0,\quad \lambda_2(1)=0.

Passo 4

Para expressar tudo em termos de x_1 só, note que
ẍ_1 + \sqrt{2}\,x_1 = -\frac{\lambda_2}{2},
e também, diferenciando duas vezes \lambda_2, chega‐se ao BVP
x_1^{(4)} + 2\sqrt{2}\,ẍ_1 + 3\,x_1 = 0,
com condições
x_1(0)=1,\quad ẋ_1(0)=0,
ẍ_1(1) + \sqrt{2}\,x_1(1) = 0, \quad x^{(3)}_1(1) + \sqrt{2}\,ẋ_1(1) = 0.

Passo 5

A solução geral desta EDO de 4ª ordem é combinação linear de quatro modos complexos, que pode escrever‐se em forma real como
x_1(t) = e^{\alpha t}\bigl(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\bigr) + e^{-\alpha t}\bigl(C_3\cos(\beta t)+C_4\sin(\beta t)\bigr),
onde
\alpha = \sqrt{\tfrac{\sqrt3-\sqrt2}{2}},\quad \beta = \sqrt{\tfrac{\sqrt3+\sqrt2}{2}}.
Os quatro coeficientes C_1,C_2,C_3,C_4 vêm das quatro condições de contorno acima.

Passo 6

Uma vez obtida x_1(t), temos
x_2(t)=\dot x_1(t), \qquad u^*(t)=-\frac{\lambda_2(t)}{2} = ẍ_1(t)+\sqrt{2}\,x_1(t).
Assim determinamos controle e trajetórias completas.

Resposta

O controle ótimo satisfaz
u^*(t)=-\frac{\lambda_2(t)}{2},
onde o co‐estado \lambda_2\) e \(x(t)\) vêm do sistema \[\begin{cases} ẍ + \sqrt{2}\,x = u,\\\ \dot\lambda_1 = -2x + \sqrt{2}\,\lambda_2,\\\ \dot\lambda_2 = -\lambda_1, \end{cases}
com x(0)=1\], \(\dot x(0)=0, \lambda(1)=0. Equivalentemente, x(t) é a solução do BVP
x^{(4)} + 2\sqrt{2}\,ẍ + 3\,x = 0
com
x(0)=1,\;x'(0)=0,\;x''(1)+\sqrt{2}x(1)=0,\;x^{(3)}(1)+\sqrt{2}x'(1)=0,
especificando
x(t) = e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t) + e^{-\alpha t}(C_3\cos\beta t + C_4\sin\beta t)
e
u^*(t)=ẍ(t)+\sqrt{2}\,x(t),
com \alpha e \beta dados acima e C_i ajustados pelas condições de contorno.

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