Usando Princípio Máximo de Pontryagin, encontrar o controle e trajetórias ótimas dos seguintes problemas:
4.
4.
Passo 1
O problema é um caso LQ (quadrático-linear) de tempo fixo. Temos a dinâmica de segunda ordem
com condições iniciais
, e queremos minimizar
Para aplicar o Princípio Máximo de Pontryagin, vamos reescrever em forma de sistema de ordem 1 e introduzir co-estados.
Passo 2
Defina
então
O Hamiltoniano é
A condição de otimalidade em
(minimização pontual) dá
Passo 3
As equações de co-estados vêm de
Logo
As condições de contorno são
e, como não há restrição terminal em
, vale
Passo 4
Para expressar tudo em termos de
só, note que
e também, diferenciando duas vezes
, chega‐se ao BVP
com condições
Passo 5
A solução geral desta EDO de 4ª ordem é combinação linear de quatro modos complexos, que pode escrever‐se em forma real como
onde
Os quatro coeficientes
vêm das quatro condições de contorno acima.
Passo 6
Uma vez obtida
, temos
Assim determinamos controle e trajetórias completas.
Resposta
O controle ótimo satisfaz
onde o co‐estado
com
,
. Equivalentemente,
é a solução do BVP
com
especificando
e
com
e
dados acima e
ajustados pelas condições de contorno.