Aplicando a programação dinâmica resolver o problema LQR para o seguinte sistema
com índice de desempenho
condições iniciais:
3.
.
3.
Passo 1
O enunciado pede projetar por programação dinâmica (HJB) o controlador ótimo para o sistema escalar
minimizando
com condição inicial
. Vamos supor uma função de valor quadrática
e determinar
e a lei de controle
.
Passo 2
A equação de Hamilton–Jacobi–Bellman para problema infinito‐horizon é
Como
, o Hamiltoniano fica
Passo 3
Para achar o mínimo em relação a
, igualamos
:
Passo 4
Substituindo
de volta em
gera a equação de Riccati algébrica:
Dividindo por
e reorganizando:
Logo
Passo 5
Resolvendo a quadrática
Como
, escolhemos
Passo 6
A lei de realimentação ótima fica
O fecho-laco fechado é
, portanto
Resposta
P =
,
u^(x) = ,
e custo ótimo J = P·[x(0)]^ .
u^(x) =
e custo ótimo J = P·[x(0)]^