Aplicando a programação dinâmica resolver o problema LQR para o seguinte sistema
\dot{x}=A x+B u
com índice de desempenho
\mathcal{I}=\int_{0}^{\infty}\left(\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{R} u^{2}\right) d t
condições iniciais: \boldsymbol{x}(0)=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1\end{array}\right]
3. \boldsymbol{A}=2, \boldsymbol{B}=3, \boldsymbol{Q}=1, R=0,1.

Passo 1

O enunciado pede projetar por programação dinâmica (HJB) o controlador ótimo para o sistema escalar
\dot x = 2\,x + 3\,u
minimizando
\mathcal I = \int_{0}^{\infty}\bigl(x^2 + 0{,}1\,u^2\bigr)\,dt
com condição inicial x(0)=1. Vamos supor uma função de valor quadrática V(x)=P\,x^2 e determinar P e a lei de controle u^*(x).

Passo 2

A equação de Hamilton–Jacobi–Bellman para problema infinito‐horizon é
\min_{u}\Bigl[x^2 + 0{,}1\,u^2 + V'(x)\,(2x+3u)\Bigr]=0.
Como V'(x)=2P\,x, o Hamiltoniano fica
H = x^2 + 0{,}1\,u^2 + 2P\,x\,(2x+3u).

Passo 3

Para achar o mínimo em relação a u, igualamos \partial H/\partial u=0:
0 = 2\cdot0{,}1\,u + 2P\,x\cdot3 \quad\Longrightarrow\quad 0{,}2\,u + 6P\,x =0 \quad\Longrightarrow\quad u^* = -\frac{6P}{0{,}2}\,x = -30\,P\,x.

Passo 4

Substituindo u^* de volta em H=0 gera a equação de Riccati algébrica:
0 = x^2 + 0{,}1\,(u^*)^2 + 2P\,x\,(2x+3u^*)
\Longrightarrow\; 0 = x^2 + 0{,}1\,(30P\,x)^2 + 2P\,x\bigl(2x-90P\,x\bigr).
Dividindo por x^2\neq0 e reorganizando:
0 = 1 + 0{,}1\cdot900\,P^2 + 2P\,(2 - 90P) = 1 + 90\,P^2 + 4P -180\,P^2 = 1 +4P -90\,P^2.
Logo
90\,P^2 -4P -1 = 0.

Passo 5

Resolvendo a quadrática
P = \frac{4 \pm \sqrt{16 +360}}{180} = \frac{4 \pm \sqrt{376}}{180} = \frac{2 \pm \sqrt{94}}{90}.
Como P>0, escolhemos
P = \frac{2 + \sqrt{94}}{90}\approx0{,}12994.

Passo 6

A lei de realimentação ótima fica
u^*(x) = -30\,P\,x = -30\cdot\frac{2 + \sqrt{94}}{90}\,x = -\frac{2 + \sqrt{94}}{3}\,x\approx -3{,}8982\,x.
O fecho-laco fechado é \dot x = (2+3\,K)\,x = -\sqrt{94}\,x, portanto
x(t)=e^{-\sqrt{94}\,t}\,x(0).

Resposta

P = \displaystyle\frac{2 + \sqrt{94}}{90},
u^(x) = \displaystyle -\frac{2 + \sqrt{94}}{3}\,x,
e custo ótimo J
= P·[x(0)]^ 2= \displaystyle\frac{2 + \sqrt{94}}{90}.

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