Resolver os seguintes problemas variacionais condicionados:
V[y]=\int_{0}^{1} y^{\prime 2} d x ; \int_{0}^{1} x y d x=0 ; y(0)=-4, y(1)=4.

Passo 1

O problema é encontrar a função y que minimiza
V[y] = \int_{0}^{1} (y')^{2}\,dx
sujeita à condição integral
\int_{0}^{1} x\,y(x)\,dx = 0
e aos contornos y(0) = -4, y(1) = 4.
Vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange para problemas variacionais condicionados.

Passo 2

Introduzimos um multiplicador \lambda e consideramos o funcional não condicionado
J[y] \;=\;\int_{0}^{1} \bigl((y')^{2} + \lambda\,x\,y\bigr)\,dx.
A parte extra \lambda\,x\,y impõe a condição \int_{0}^{1} x\,y\,dx=0.

Passo 3

Escrevendo o integrando
F\bigl(x,y,y'\bigr) = (y')^{2} + \lambda\,x\,y,
temos \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} = \lambda\,x
e \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y'} = 2\,y'.
A equação de Euler–Lagrange é
\frac{d}{dx}\bigl(2y'\bigr) - \lambda\,x = 0 \;\Longrightarrow\; 2\,y'' = \lambda\,x \;\Longrightarrow\; y'' = \frac{\lambda}{2}\,x.

Passo 4

Integramos duas vezes:
y'(x) = \int \frac{\lambda}{2}\,x\,dx = \frac{\lambda}{4}\,x^{2} + C_{1},
y(x) = \int \Bigl(\tfrac{\lambda}{4}\,x^{2} + C_{1}\Bigr)\,dx = \frac{\lambda}{12}\,x^{3} + C_{1}\,x + C_{2}.

Passo 5

Impondo as condições de contorno: y(0)=C_{2}=-4. y(1)=\frac{\lambda}{12}+C_{1}-4=4 \;\Longrightarrow\;\frac{\lambda}{12}+C_{1}=8 \;\Longrightarrow\;C_{1}=8-\frac{\lambda}{12}.

Passo 6

Agora impomos a condição integral:
\int_{0}^{1} x\,y(x)\,dx = \int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{\lambda}{12}x^{4}+C_{1}x^{2}+C_{2}x\Bigr)\,dx = \frac{\lambda}{60} + \frac{C_{1}}{3} + \frac{C_{2}}{2} =0.
Substituindo C_{1}=8-\tfrac{\lambda}{12} e C_{2}=-4:
\frac{\lambda}{60} + \frac{8-\frac{\lambda}{12}}{3} -2 = 0 \;\Longrightarrow\; -\frac{\lambda}{90} + \frac{2}{3} = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = 60.

Passo 7

Com \lambda=60 obtemos
C_{1}=8-\frac{60}{12}=8-5=3, \quad C_{2}=-4,
logo a solução é
y(x)=\frac{60}{12}\,x^{3}+3\,x-4 = 5\,x^{3}+3\,x-4.

Resposta

A extremal que resolve o problema é
y(x)=5\,x^{3}+3\,x-4.
O valor mínimo do funcional é
V_{\min}=\int_{0}^{1}(y')^{2}dx =\int_{0}^{1}(15x^{2}+3)^{2}dx =84.

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