Resolver os seguintes problemas variacionais condicionados:
.
Passo 1
O problema é encontrar a função
que minimiza
sujeita à condição integral
e aos contornos
,
.
Vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange para problemas variacionais condicionados.
Vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange para problemas variacionais condicionados.
Passo 2
Introduzimos um multiplicador
e consideramos o funcional não condicionado
A parte extra
impõe a condição
.
Passo 3
Escrevendo o integrando
temos
e
A equação de Euler–Lagrange é
e
A equação de Euler–Lagrange é
Passo 4
Integramos duas vezes:
Passo 5
Impondo as condições de contorno:
.
Passo 6
Agora impomos a condição integral:
Substituindo
e
:
Passo 7
Com
obtemos
logo a solução é
Resposta
A extremal que resolve o problema é
O valor mínimo do funcional é