Consider the system
\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1} \\\ \dot{x}_{2} \\\ \dot{x}_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 3 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]
The output is given by
y=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]
(a) Show that the system is not completely observable.
(b) Show that the system is completely observable if the output is given by
\left[\begin{array}{l} y_{1} \\\ y_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o sistema
\dot{x}=Ax,\quad y=Cx,
onde
A=\begin{pmatrix}2&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&3&1\end{pmatrix}.
No item (a)
C=\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix},
e no item (b)
C=\begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&2&3\end{pmatrix}.
Um sistema é completamente observável se a matriz de observabilidade
O=\begin{pmatrix} C\\\ C\,A\\\ C\,A^2 \end{pmatrix}
tiver posto igual a 3, a dimensão do vetor de estado.

Passo 2

Para o item (a) calculamos
C=\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}, \quad C\,A=\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&3&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&5&1\end{pmatrix},
C\,A^2=\begin{pmatrix}2&5&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&3&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4&13&1\end{pmatrix}.
Logo
O=\begin{pmatrix} 1&1&1\\\\ 2&5&1\\\\ 4&13&1 \end{pmatrix}.
Fazendo operações lineares vemos que a terceira linha é combinação das duas primeiras, de modo que \mathrm{rank}(O)=2<3. Portanto o sistema não é completamente observável.

Passo 3

Para o item (b) temos
C=\begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&2&3\end{pmatrix}, \quad C\,A=\begin{pmatrix}2&5&1\\\ 2&13&3\end{pmatrix}, \quad C\,A^2=\begin{pmatrix}4&13&1\\\ 4&35&3\end{pmatrix}.
Assim
O=\begin{pmatrix} 1&1&1\\\\ 1&2&3\\\\ 2&5&1\\\\ 2&13&3\\\\ 4&13&1\\\\ 4&35&3 \end{pmatrix}.
Basta notar que, por exemplo, as três primeiras linhas formam a matriz
\begin{pmatrix} 1&1&1\\\\ 1&2&3\\\\ 2&5&1 \end{pmatrix}
cujo determinante é -7\neq0. Logo \mathrm{rank}(O)=3 e o sistema é completamente observável.

Resposta

(a) O sistema não é completamente observável.
(b) O sistema é completamente observável.

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