Aplicando a propriedade do produto nulo, forme uma equação polinomial
:
do
grau, com raízes 1,2 e 6 tal que o coeficiente dominante de
seja 1 .
do
Passo 1
O enunciado pede que eu forme uma equação polinomial de 3.º grau
com as seguintes condições:
- As raízes são
, e . - O coeficiente dominante (ou seja, o coeficiente de
) deve ser .
Informações relevantes dadas:
- raízes:
, , ; - grau:
(portanto teremos um fator por cada raiz); - coeficiente dominante:
(o polinômio será monico — leading coefficient igual a ).
Passo 2
Conceito importante: propriedade do produto nulo (ou fatorização por raízes).
- Se um número
é raiz de um polinômio , então é um fator de . - Para raízes
, um polinômio de grau 3 com essas raízes pode ser escrito como
onde
é uma constante real que determina o coeficiente dominante. Aqui
é exatamente o coeficiente de
.
- No nosso caso, queremos coeficiente dominante
; portanto .
Passo 3
Aplicando o item anterior com as raízes dadas
e
, escrevo diretamente os fatores:
Explicar o porquê de cada fator: o fator
é zero quando
,
é zero quando
e
é zero quando
; por produto nulo, qualquer um desses anulando faz
, então as raízes são essas.
Passo 4
Agora vou expandir passo a passo sem pular contas. Primeiro multiplico os dois primeiros fatores usando FOIL (First, Outside, Inside, Last):
Calculo termo a termo:
-
, -
, -
, -
.
Somando esses termos:
Passo 5
Agora multiplico o resultado por
:
Faço a distribuição termo a termo (multiplicando pelo
e depois por
):
Multiplicando por
:
-
, -
, -
.
Multiplicando por
:
-
, -
, -
.
Agora somo todos os termos obtidos:
- termo em
: , - termos em
: , - termos em
: , - termo constante:
.
Portanto a expansão fica
Passo 6
Rápida verificação (para você se sentir seguro): devo checar que essas raízes realmente anulam o polinômio. Faço
,
e
usando a forma expandida
.
Calculo
:
Calculo
:
Calculo
:
As três substituições dão
, então as raízes estão corretas. Além disso, o coeficiente de
é
, como pedido.