Resolva em C as equações a seguir.
(x-2 i)\left(x^{2}-4\right)(x+2)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{C} a equação
(x-2i)\left(x^{2}-4\right)(x+2)=0.
Informações dadas:
\text{os fatores são }(x-2i),\; (x^{2}-4),\; (x+2).ã
O que se pede: encontrar todos os valores de x\in\mathbb{C} que tornam o produto igual a zero.

Passo 2

Usamos a propriedade fundamental do produto nulo (zero-product property): se o produto de fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Isto vale em \mathbb{C} porque é um corpo (campo): não existem divisores de zero. Em fórmulas:
\text{se }A\cdot B\cdot C=0\text{ então }A=0\text{ ou }B=0\text{ ou }C=0.ã
Portanto basta resolver cada equação obtida ao anular cada fator.

Passo 3

Primeiro fatoramos completamente x^{2}-4. Usamos a identidade “diferença de quadrados”:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a=x e b=2, logo
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Substituindo na equação original obtemos a fatoração completa:
(x-2i)(x^{2}-4)(x+2)=(x-2i)(x-2)(x+2)(x+2)=(x-2i)(x-2)(x+2)^{2}.
Note que o fator x+2 aparece com multiplicidade 2 (ou seja, é uma raiz dupla), mas isso não altera os valores da solução, apenas sua multiplicidade.

Passo 4

Agora anulamos cada fator linear e resolvemos:
  1. Anular x-2i:
x-2i=0 \implies x=2i.
  1. Anular x-2:
x-2=0 \implies x=2.
  1. Anular x+2:
x+2=0 \implies x=-2.
Como vimos no passo anterior, x=-2 é uma raiz de multiplicidade 2, mas ainda assim é apenas o valor x=-2.

Passo 5

Resumo das raízes encontradas:
x=2i,\quad x=2,\quad x=-2.
Se quiser anotar com multiplicidades: x=2i (multiplicidade 1), x=2 (multiplicidade 1), x=-2 (multiplicidade 2).

Resposta

2i\n 2\n -2

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