Aplicando a propriedade do produto nulo, forme uma equação polinomial P(x)=0 :
do 3^{\circ} grau, com raízes 1,2 e 6 tal que o coeficiente dominante de P(x) seja 1 .

Passo 1

O enunciado pede que eu forme uma equação polinomial de 3.º grau P(x)=0 com as seguintes condições:
  • As raízes são 1, 2 e 6.
  • O coeficiente dominante (ou seja, o coeficiente de x^3) deve ser 1.
Informações relevantes dadas:
  • raízes: 1, 2, 6;
  • grau: 3 (portanto teremos um fator por cada raiz);
  • coeficiente dominante: 1 (o polinômio será monico — leading coefficient igual a 1).

Passo 2

Conceito importante: propriedade do produto nulo (ou fatorização por raízes).
  • Se um número r é raiz de um polinômio P(x), então (x-r) é um fator de P(x).
  • Para raízes \,r_1,r_2,r_3, um polinômio de grau 3 com essas raízes pode ser escrito como
P(x)=k(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3),
onde k é uma constante real que determina o coeficiente dominante. Aqui k é exatamente o coeficiente de x^3.
  • No nosso caso, queremos coeficiente dominante 1; portanto k=1.

Passo 3

Aplicando o item anterior com as raízes dadas 1,2,6 e k=1, escrevo diretamente os fatores:
P(x)=(x-1)(x-2)(x-6).
Explicar o porquê de cada fator: o fator (x-1) é zero quando x=1, (x-2) é zero quando x=2 e (x-6) é zero quando x=6; por produto nulo, qualquer um desses anulando faz P(x)=0, então as raízes são essas.

Passo 4

Agora vou expandir passo a passo sem pular contas. Primeiro multiplico os dois primeiros fatores usando FOIL (First, Outside, Inside, Last):
(x-1)(x-2).
Calculo termo a termo:
  • x\cdot x = x^2,
  • x\cdot(-2) = -2x,
  • (-1)\cdot x = -x,
  • (-1)\cdot(-2) = 2.
Somando esses termos:
(x-1)(x-2)=x^2-2x-x+2 = x^2-3x+2.

Passo 5

Agora multiplico o resultado por (x-6):
(x^2-3x+2)(x-6).
Faço a distribuição termo a termo (multiplicando pelo x e depois por -6):
Multiplicando por x:
  • x^2\cdot x = x^3,
  • -3x\cdot x = -3x^2,
  • 2\cdot x = 2x.
Multiplicando por -6:
  • x^2\cdot(-6) = -6x^2,
  • -3x\cdot(-6) = 18x,
  • 2\cdot(-6) = -12.
Agora somo todos os termos obtidos:
  • termo em x^3: x^3,
  • termos em x^2: -3x^2 + (-6x^2) = -9x^2,
  • termos em x: 2x + 18x = 20x,
  • termo constante: -12.
Portanto a expansão fica
x^3 - 9x^2 + 20x - 12.

Passo 6

Rápida verificação (para você se sentir seguro): devo checar que essas raízes realmente anulam o polinômio. Faço P(1), P(2) e P(6) usando a forma expandida (x^3-9x^2+20x-12).
Calculo P(1):
1^3 - 9\cdot1^2 + 20\cdot1 - 12 = 1 - 9 + 20 - 12 = 0.
Calculo P(2):
2^3 - 9\cdot2^2 + 20\cdot2 - 12 = 8 - 36 + 40 - 12 = 0.
Calculo P(6):
6^3 - 9\cdot6^2 + 20\cdot6 - 12 = 216 - 324 + 120 - 12 = 0.
As três substituições dão 0, então as raízes estão corretas. Além disso, o coeficiente de x^3 é 1, como pedido.

Resposta

P(x)=x^3-9x^2+20x-12=0

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