Aplicando a propriedade do produto nulo, forme uma equação polinomial P(x)=0 :
do 3^{\circ} grau, com duas raízes iguais a 1 e uma igual a -2 tal que o coeficiente dominante de P(x) seja 2.

Passo 1

O enunciado pede para construir uma equação polinomial P(x)=0 com as seguintes informações:
  • O polinômio é do 3^{\circ} grau (grau 3).
  • Tem duas raízes iguais a 1 (ou seja, a raiz 1 tem multiplicidade 2).
  • Tem uma raiz igual a -2.
  • O coeficiente dominante (ou seja, o coeficiente de x^3) deve ser 2.

Passo 2

Explicando a ideia principal (sem resolver ainda): quando um polinômio tem raízes conhecidas, podemos escrevê-lo como um produto de fatores lineares correspondentes a essas raízes, multiplicado por uma constante que ajusta o coeficiente dominante. A propriedade do produto nulo diz que se
a\cdot b\cdot c = 0,
então pelo menos um entre a, b, c é zero — aplicado a polinômios, se um produto de fatores é zero, as raízes são os zeros desses fatores. Assim, para raízes r_1,r_2,r_3 um polinômio geral (de grau 3) com coeficiente líder k pode ser escrito como
k(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3).

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: como temos duas raízes iguais a 1 e uma raiz igual a -2, os fatores lineares são (x-1), (x-1) e (x+2). Então um polinômio com essas raízes e coeficiente líder k é
k(x-1)^2(x+2).
Ainda temos que escolher k de modo que o coeficiente de x^3 seja 2. Vamos determinar k.

Passo 4

Antes de ajustar k, é útil expandir (x-1)^2. Usamos a propriedade do quadrado de uma soma/diferença:
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1.
Aqui fizemos o produto (x-1)(x-1): x\cdot x = x^2, x\cdot(-1) = -x, (-1)\cdot x = -x, e (-1)\cdot(-1)=1. Somando os termos semelhantes obtemos x^2 -2x +1.

Passo 5

Agora multiplicamos (x^2 - 2x + 1) por (x+2). Aplicamos a distributiva (cada termo do primeiro polinômio multiplica o segundo):
(x^2 - 2x + 1)(x+2) = x^2(x+2) - 2x(x+2) + 1(x+2).
Calculando cada parte:
x^2(x+2) = x^3 + 2x^2,
-2x(x+2) = -2x^2 - 4x,
1(x+2) = x + 2.
Somando tudo e combinando termos semelhantes:
x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + x + 2 = x^3 - 3x + 2.
Note que os 2x^2 e -2x^2 se cancelam.

Passo 6

Portanto, sem o fator k, o produto dos fatores é
(x-1)^2(x+2) = x^3 - 3x + 2.
O coeficiente de x^3 aqui é 1. Para que o coeficiente dominante de P(x) seja 2, precisamos multiplicar esse polinômio por k=2. Assim:
P(x) = 2\bigl(x^3 - 3x + 2\bigr).

Passo 7

Multiplicando termo a termo:
P(x) = 2x^3 - 6x + 4.
Esse é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder 2. Vamos verificar rapidamente as raízes (confirmação): calcular P(1) e P(-2).
P(1) = 2\cdot1^3 - 6\cdot1 + 4 = 2 - 6 + 4 = 0,
P(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2) + 4 = 2(-8) + 12 + 4 = -16 + 16 = 0.
Além disso, como a raiz 1 deve ter multiplicidade 2, a derivada P'(x) também deve ser zero em x=1. Calculando P'(x):
P'(x) = 6x^2 - 6,
P'(1) = 6\cdot1^2 - 6 = 0,
o que confirma que x=1 é raiz dupla. Tudo confere.

Passo 8

Resumo final: o polinômio pedido é P(x)=2x^3 - 6x + 4, e a equação pedido é 2x^3 - 6x + 4 = 0.

Resposta

2x^3 - 6x + 4 = 0

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