Aplicando a propriedade do produto nulo, forme uma equação polinomial
:
do
grau, com duas raízes iguais a 1 e uma igual a -2 tal que o coeficiente dominante de
seja 2.
do
Passo 1
O enunciado pede para construir uma equação polinomial
com as seguintes informações:
- O polinômio é do
grau (grau ). - Tem duas raízes iguais a
(ou seja, a raiz tem multiplicidade ). - Tem uma raiz igual a
. - O coeficiente dominante (ou seja, o coeficiente de
) deve ser .
Passo 2
Explicando a ideia principal (sem resolver ainda): quando um polinômio tem raízes conhecidas, podemos escrevê-lo como um produto de fatores lineares correspondentes a essas raízes, multiplicado por uma constante que ajusta o coeficiente dominante. A propriedade do produto nulo diz que se
então pelo menos um entre
é zero — aplicado a polinômios, se um produto de fatores é zero, as raízes são os zeros desses fatores. Assim, para raízes
um polinômio geral (de grau 3) com coeficiente líder
pode ser escrito como
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: como temos duas raízes iguais a
e uma raiz igual a
, os fatores lineares são
,
e
. Então um polinômio com essas raízes e coeficiente líder
é
Ainda temos que escolher
de modo que o coeficiente de
seja
. Vamos determinar
.
Passo 4
Antes de ajustar
, é útil expandir
. Usamos a propriedade do quadrado de uma soma/diferença:
Aqui fizemos o produto
:
,
,
, e
. Somando os termos semelhantes obtemos
.
Passo 5
Agora multiplicamos
por
. Aplicamos a distributiva (cada termo do primeiro polinômio multiplica o segundo):
Calculando cada parte:
Somando tudo e combinando termos semelhantes:
Note que os
e
se cancelam.
Passo 6
Portanto, sem o fator
, o produto dos fatores é
O coeficiente de
aqui é
. Para que o coeficiente dominante de
seja
, precisamos multiplicar esse polinômio por
. Assim:
Passo 7
Multiplicando termo a termo:
Esse é um polinômio de grau
com coeficiente líder
. Vamos verificar rapidamente as raízes (confirmação): calcular
e
.
Além disso, como a raiz
deve ter multiplicidade
, a derivada
também deve ser zero em
. Calculando
:
o que confirma que
é raiz dupla. Tudo confere.
Passo 8
Resumo final: o polinômio pedido é
, e a equação pedido é
.