Aplicando a propriedade do produto nulo, forme uma equação polinomial
:
do
grau, com todas as raízes iguais a 2 tal que o coeficiente dominante de
seja 4.
do
Passo 1
O enunciado pede para formar uma equação polinomial
com as seguintes condições:
- O polinômio deve ser do
grau (ou seja, grau ). - Todas as raízes devem ser iguais a
. - O coeficiente dominante (coeficiente de
) de deve ser .
Informações relevantes dadas:
- raiz =
(repetida para todas as raízes), - multiplicidade total das raízes =
(pois o polinômio é de grau ), - coeficiente líder =
.
Passo 2
Vamos entender o que significa "todas as raízes iguais a
" e como isso se traduz em fatores do polinômio. A propriedade do produto nulo (ou Teorema do Fator) diz que:
Além disso, se uma raiz
tem multiplicidade
, o fator correspondente aparece
vezes, ou seja,
divide
. Aqui todas as quatro raízes são
, então a fatoração que reflete isso é
, possivelmente multiplicada por uma constante escalar.
Exemplo curto para fixar a ideia: se uma raiz
é dupla, então o fator é
. Ao substituir
obtemos zero por causa do fator
.
Passo 3
Pelo raciocínio anterior, qualquer polinômio do grau
com todas as raízes iguais a
tem a forma
onde
é uma constante escalar real não nula. Aqui
ajusta o coeficiente líder do polinômio.
Agora precisamos usar a condição do coeficiente dominante: ele deve ser
.
Passo 4
Determine a relação entre
e o coeficiente líder. Observe que, ao expandir
, o termo de maior grau é
com coeficiente
, porque ao elevar
à quarta potência o termo de maior grau vem de multiplicar
. Portanto o termo de maior grau de
é
, e o termo de maior grau de
é
.
Queremos que esse coeficiente líder seja
. Assim devemos ter
Portanto o polinômio procurado é
Passo 5
Agora vamos expandir
passo a passo para escrever
na forma polinomial padrão (soma de termos em potências decrescentes de
). Usaremos o Teorema do Binômio ou a técnica de quadrado de quadrado para ficar mais claro.
Primeiro calcule
:
Expliquei: ao quadrar um binômio
. Aqui
e
, então
,
e
.
Agora use isso para obter
como
:
Passo 6
Expanda
. Para claridade, use a fórmula de quadrado de soma de três termos:
Aqui
,
,
. Calcule cada termo:
Agora some todos esses termos:
Combine os termos semelhantes em
:
Passo 7
Multiplique agora por
para obter
:
Distribuindo o
em cada termo:
Expliquei: multiplicar o polinômio por
apenas escala cada coeficiente por
. Note que o coeficiente líder é realmente
, como exigido.