Aplicando a propriedade do produto nulo, forme uma equação polinomial P(x)=0 :
do 4^{\circ} grau, com todas as raízes iguais a 2 tal que o coeficiente dominante de P(x) seja 4.

Passo 1

O enunciado pede para formar uma equação polinomial \;P(x)=0\; com as seguintes condições:
  • O polinômio deve ser do 4^{\circ} grau (ou seja, grau \;4\;).
  • Todas as raízes devem ser iguais a \;2\;.
  • O coeficiente dominante (coeficiente de \;x^4\;) de \;P(x)\; deve ser \;4\;.
Informações relevantes dadas:
  • raiz = \;2\; (repetida para todas as raízes),
  • multiplicidade total das raízes = \;4\; (pois o polinômio é de grau \;4\;),
  • coeficiente líder = \;4\;.

Passo 2

Vamos entender o que significa "todas as raízes iguais a \;2\;" e como isso se traduz em fatores do polinômio. A propriedade do produto nulo (ou Teorema do Fator) diz que:
\text{se }(x-a)\text{ é um fator de }P(x)\text{ então }P(a)=0.éã
Além disso, se uma raiz a tem multiplicidade m, o fator correspondente aparece m vezes, ou seja, (x-a)^m divide P(x). Aqui todas as quatro raízes são \;2\;, então a fatoração que reflete isso é (x-2)^4, possivelmente multiplicada por uma constante escalar.
Exemplo curto para fixar a ideia: se uma raiz \;3\; é dupla, então o fator é (x-3)^2. Ao substituir x=3 obtemos zero por causa do fator (x-3).

Passo 3

Pelo raciocínio anterior, qualquer polinômio do grau \;4\; com todas as raízes iguais a \;2\; tem a forma
P(x)=k\,(x-2)^4,
onde \;k\; é uma constante escalar real não nula. Aqui \;k\; ajusta o coeficiente líder do polinômio.
Agora precisamos usar a condição do coeficiente dominante: ele deve ser \;4\;.

Passo 4

Determine a relação entre \;k\; e o coeficiente líder. Observe que, ao expandir (x-2)^4, o termo de maior grau é x^4 com coeficiente \;1\;, porque ao elevar (x-2) à quarta potência o termo de maior grau vem de multiplicar x\cdot x\cdot x\cdot x. Portanto o termo de maior grau de (x-2)^4 é \;x^4, e o termo de maior grau de k\,(x-2)^4 é \;k x^4.
Queremos que esse coeficiente líder seja \;4\;. Assim devemos ter
k = 4.
Portanto o polinômio procurado é
P(x)=4\,(x-2)^4.

Passo 5

Agora vamos expandir (x-2)^4 passo a passo para escrever P(x) na forma polinomial padrão (soma de termos em potências decrescentes de x). Usaremos o Teorema do Binômio ou a técnica de quadrado de quadrado para ficar mais claro.
Primeiro calcule (x-2)^2:
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4.
Expliquei: ao quadrar um binômio (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Aqui a=x e b=-2, então a^2=x^2, 2ab=2\cdot x\cdot(-2)=-4x e b^2=4.
Agora use isso para obter (x-2)^4 como \big((x-2)^2\big)^2:
(x-2)^4 = (x^2 - 4x + 4)^2.

Passo 6

Expanda (x^2 - 4x + 4)^2. Para claridade, use a fórmula de quadrado de soma de três termos:
(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.
Aqui a=x^2, b=-4x, c=4. Calcule cada termo:
  • a^2 = (x^2)^2 = x^4.
  • b^2 = (-4x)^2 = 16x^2.
  • c^2 = 4^2 = 16.
  • 2ab = 2\cdot x^2 \cdot (-4x) = -8x^3.
  • 2ac = 2\cdot x^2 \cdot 4 = 8x^2.
  • 2bc = 2\cdot (-4x) \cdot 4 = -32x.
Agora some todos esses termos:
(x-2)^4 = x^4 + (-8x^3) + (16x^2 + 8x^2) + (-32x) + 16.
Combine os termos semelhantes em \;x^2:
(x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16.

Passo 7

Multiplique agora por k=4 para obter P(x):
P(x)=4\,(x-2)^4 = 4\big(x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16\big).
Distribuindo o 4 em cada termo:
P(x)=4x^4 - 32x^3 + 96x^2 - 128x + 64.
Expliquei: multiplicar o polinômio por 4 apenas escala cada coeficiente por 4. Note que o coeficiente líder é realmente \;4\;, como exigido.

Resposta

P(x)=4(x-2)^4=4x^4-32x^3+96x^2-128x+64

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