Aplicando a propriedade do produto nulo, forme uma equação polinomial P(x)=0 :
do 3^{\circ} grau, com uma raiz igual a -3 , uma igual a 3 i e outra igual a -3 i tal que o coeficiente dominante de P(x) seja 1.

Passo 1

O enunciado pede para formar uma equação polinomial P(x)=0 de grau 3 tal que:
  • as raízes são -3, 3i e -3i;
  • o coeficiente dominante (coeficiente do termo de maior grau) de P(x) seja 1 (ou seja, P é monica).
Informações relevantes dadas: as três raízes listadas e a exigência de grau 3 e de polinômio monico.

Passo 2

Conceito importante: propriedade do produto nulo / fator associado a uma raiz.
Se r é raiz de um polinômio, então o fator (x-r) divide o polinômio. Para n raízes r_1,r_2,\dots,r_n (contadas com multiplicidade), um polinômio monico que tem exatamente essas raízes pode ser escrito como
P(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n).
Aqui temos três raízes, então usaremos essa construção com n=3.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: as raízes são r_1=-3, r_2=3i, r_3=-3i. Logo os fatores correspondentes são (x-(-3)), (x-3i), (x-(-3i)). Escrevendo:
P(x)=(x+3)(x-3i)(x+3i).

Passo 4

Multiplicação do par de complexos conjugados. É prático multiplicar primeiro (x-3i)(x+3i) porque produtos de conjugados dão fator real:
Calcule passo a passo:
(x-3i)(x+3i)=x\cdot x + x\cdot 3i -3i\cdot x -3i\cdot 3i.
Os termos x\cdot 3i e -3i\cdot x se cancelam porque são 3ix e -3ix. O último termo é -3i\cdot 3i = -9i^2. Lembrando que i^2=-1, temos -9i^2 = -9(-1)=9. Portanto
(x-3i)(x+3i)=x^2+9.

Passo 5

Substituímos esse resultado em P(x):
P(x)=(x+3)(x^2+9).
Agora expandimos usando distributiva (multiplicando cada termo de (x+3) por cada termo de (x^2+9)):
Calcule os produtos elementares:
x\cdot x^2 = x^3,\qquad 3\cdot x^2 = 3x^2,\qquad x\cdot 9 = 9x,\qquad 3\cdot 9 = 27.
Somando todos:
P(x)=x^3 + 3x^2 + 9x + 27.
Esse polinômio é de grau 3 e o coeficiente do termo x^3 é 1, ou seja, é monico, como pedido.

Passo 6

Verificação rápida das raízes (mostra que fizemos certo).
  • Para x=-3:
(-3)^3 + 3(-3)^2 + 9(-3) + 27 = -27 + 27 -27 +27 = 0.
  • Para x=3i:
(3i)^3 + 3(3i)^2 + 9(3i) + 27 = 27i^3 + 27 i^2 + 27 i + 27.
Como i^2=-1 e i^3=-i, isso vira -27i -27 +27i +27 = 0.
Assim as três raízes dadas anulam P(x), confirmação completa.

Resposta

P(x)=x^3+3x^2+9x+27=0

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