Aplicando a propriedade do produto nulo, forme uma equação polinomial
:
do
grau, com uma raiz igual a -3 , uma igual a 3 i e outra igual a -3 i tal que o coeficiente dominante de
seja 1.
do
Passo 1
O enunciado pede para formar uma equação polinomial
de grau
tal que:
- as raízes são
, e ; - o coeficiente dominante (coeficiente do termo de maior grau) de
seja (ou seja, é monica).
Informações relevantes dadas: as três raízes listadas e a exigência de grau
e de polinômio monico.
Passo 2
Conceito importante: propriedade do produto nulo / fator associado a uma raiz.
Se é raiz de um polinômio, então o fator
divide o polinômio. Para
raízes
(contadas com multiplicidade), um polinômio monico que tem exatamente essas raízes pode ser escrito como
Se
Aqui temos três raízes, então usaremos essa construção com
.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: as raízes são
,
,
. Logo os fatores correspondentes são
,
,
. Escrevendo:
Passo 4
Multiplicação do par de complexos conjugados. É prático multiplicar primeiro
porque produtos de conjugados dão fator real:
Calcule passo a passo:
Calcule passo a passo:
Os termos
e
se cancelam porque são
e
. O último termo é
. Lembrando que
, temos
. Portanto
Passo 5
Substituímos esse resultado em
:
Agora expandimos usando distributiva (multiplicando cada termo de
por cada termo de
):
Calcule os produtos elementares:
Calcule os produtos elementares:
Somando todos:
Esse polinômio é de grau
e o coeficiente do termo
é
, ou seja, é monico, como pedido.
Passo 6
Verificação rápida das raízes (mostra que fizemos certo).
- Para
:
- Para
:
Como
e
, isso vira
.
Assim as três raízes dadas anulam , confirmação completa.
Assim as três raízes dadas anulam