Determine se a sequiência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite. A sequência dada é
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador
é uma constante (não depende de ). - O denominador é
, que depende de . - Entendemos que
é um índice que tende para (sequência em ).
Passo 2
Observação sobre sinais e limites parciais (passo didático): o numerador é positivo porque
e
, logo
. O denominador
também é positivo para todo
porque
. Portanto
para
. Isso nos diz que a sequência é positiva — informação útil para intuir comportamento, mas não basta por si só para determinar o limite.
Passo 3
Vamos estudar o comportamento do denominador quando
. Note que
Como
, a sequência geométrica
tende para
quando
. Portanto
e assim
Passo 4
Agora usemos uma manipulação algébrica que deixa o comportamento mais claro. Podemos fatorar
no denominador:
Esta forma é útil porque torna explícito o fator
, que tende a
quando
.
Passo 5
Análise do limite usando regras de limites e comportamento de exponenciais:
- Temos
quando . - Portanto
quando . - Como
é constante, aplicando propriedades de limite ao produto e à divisão,
Logo a sequência converge e o limite é
.