Determine se a sequiência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
\left\{\frac{e^{\pi}+e^{-\pi}}{e^{2 n}-1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite. A sequência dada é
a_n=\left(\frac{e^{\pi}+e^{-\pi}}{e^{2n}-1}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador e^{\pi}+e^{-\pi} é uma constante (não depende de n).
  • O denominador é e^{2n}-1, que depende de n.
  • Entendemos que n é um índice que tende para +\infty (sequência em n\in\mathbb{N}).

Passo 2

Observação sobre sinais e limites parciais (passo didático): o numerador é positivo porque e^{\pi}>0 e e^{-\pi}>0, logo e^{\pi}+e^{-\pi}>0. O denominador e^{2n}-1 também é positivo para todo n\ge1 porque e^{2n}>1. Portanto a_n>0 para n\ge1. Isso nos diz que a sequência é positiva — informação útil para intuir comportamento, mas não basta por si só para determinar o limite.

Passo 3

Vamos estudar o comportamento do denominador quando n\to\infty. Note que
e^{2n}=(e^2)^n.
Como e^2>1, a sequência geométrica (e^2)^n tende para +\infty quando n\to\infty. Portanto
e^{2n}\to+\infty\quad\text{quando }n\to\infty,
e assim
e^{2n}-1\to+\infty\quad\text{quando }n\to\infty.

Passo 4

Agora usemos uma manipulação algébrica que deixa o comportamento mais claro. Podemos fatorar e^{2n} no denominador:
a_n=\frac{e^{\pi}+e^{-\pi}}{e^{2n}-1} =\frac{e^{\pi}+e^{-\pi}}{e^{2n}\left(1-e^{-2n}\right)} =\left(e^{\pi}+e^{-\pi}\right)\frac{e^{-2n}}{1-e^{-2n}}.
Esta forma é útil porque torna explícito o fator e^{-2n}, que tende a 0 quando n\to\infty.

Passo 5

Análise do limite usando regras de limites e comportamento de exponenciais:
  • Temos \displaystyle e^{-2n}\to 0 quando n\to\infty.
  • Portanto 1-e^{-2n}\to 1 quando n\to\infty.
  • Como \left(e^{\pi}+e^{-\pi}\right) é constante, aplicando propriedades de limite ao produto e à divisão,
\lim_{n\to\infty} a_n =\left(e^{\pi}+e^{-\pi}\right)\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{e^{-2n}}{1-e^{-2n}} =\left(e^{\pi}+e^{-\pi}\right)\cdot\frac{0}{1}=0.
Logo a sequência converge e o limite é 0.

Resposta

0

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