Aplicando as regras básicas de diferenciação, determine a derivada de cada função.
f(x)=(6x2+7x+18x3−52x3)(5x2+22x+12x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f definida por
f(x) = (6x^{2} + 7x + 18x^{3} - 52x^{3})(5x^{2} + 22x + 12x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{no primeiro fator: }18x^{3}-52x^{3} = -34x^{3},
\text{no segundo fator: }22x+12x = 34x.
Portanto podemos reescrever a função, que será usada na resolução:
f(x) = (-34x^{3} + 6x^{2} + 7x)(5x^{2} + 34x).

Passo 2

Vamos escolher o método: como f é produto de duas funções polinomiais, usaremos a regra do produto. Antes de aplicar, reviso as regras básicas que vou usar.
Regra do produto (fórmula):
\text{se }f(x)=u(x)\,v(x)\quad\text{então}\quad f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).ã
Explicação: u e v são funções de x; u'(x) e v'(x) são as derivadas delas. A derivada do produto é a soma de dois produtos: derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Regra da soma e constante multiplicativa (serão usadas para termos do polinômio):
\frac{d}{dx}\big( a\cdot g(x) \big) = a\cdot g'(x),
\frac{d}{dx}\big( g(x)+h(x) \big) = g'(x)+h'(x).
Regra do poder (power rule), usada para monômios:
\frac{d}{dx}\big( x^{n} \big) = n\,x^{n-1},
onde n é um número real (aqui n será inteiro positivo).
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Defino as duas funções que compõem o produto:
u(x) = -34x^{3} + 6x^{2} + 7x,\qquad v(x) = 5x^{2} + 34x.
Agora calculo as derivadas termo a termo usando a regra do poder e a linearidade.
Derivando u(x):
\frac{d}{dx}(-34x^{3}) = -34\cdot 3x^{2} = -102x^{2},
\frac{d}{dx}(6x^{2}) = 6\cdot 2x = 12x,
\frac{d}{dx}(7x) = 7.
Portanto
u'(x) = -102x^{2} + 12x + 7.
Derivando v(x):
\frac{d}{dx}(5x^{2}) = 5\cdot 2x = 10x,
\frac{d}{dx}(34x) = 34.
Portanto
v'(x) = 10x + 34.

Passo 4

Aplico a regra do produto:
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Vou calcular cada parcela separadamente e simplificar passo a passo.
Primeira parcela u'(x)\,v(x):
u'(x)\,v(x) = (-102x^{2} + 12x + 7)(5x^{2} + 34x).
Faço a multiplicação distribuída (cada termo do primeiro pelo segundo fator):
Multiplicando por 5x^{2}:
-102x^{2}\cdot 5x^{2} = -510x^{4},
12x\cdot 5x^{2} = 60x^{3},
7\cdot 5x^{2} = 35x^{2}.
Multiplicando por 34x:
-102x^{2}\cdot 34x = -3468x^{3},
12x\cdot 34x = 408x^{2},
7\cdot 34x = 238x.
Somando termos semelhantes:
u'(x)\,v(x) = -510x^{4} + (60-3468)x^{3} + (35+408)x^{2} + 238x
u'(x)\,v(x) = -510x^{4} -3408x^{3} + 443x^{2} + 238x.
Segunda parcela u(x)\,v'(x):
u(x)\,v'(x) = (-34x^{3} + 6x^{2} + 7x)(10x + 34).
Novamente multiplico termo a termo.
Multiplicando por 10x:
-34x^{3}\cdot 10x = -340x^{4},
6x^{2}\cdot 10x = 60x^{3},
7x\cdot 10x = 70x^{2}.
Multiplicando por 34:
-34x^{3}\cdot 34 = -1156x^{3},
6x^{2}\cdot 34 = 204x^{2},
7x\cdot 34 = 238x.
Somando termos semelhantes:
u(x)\,v'(x) = -340x^{4} + (60-1156)x^{3} + (70+204)x^{2} + 238x
u(x)\,v'(x) = -340x^{4} -1096x^{3} + 274x^{2} + 238x.

Passo 5

Agora somo as duas parcelas para obter f'(x):
f'(x) = \big(-510x^{4} -3408x^{3} + 443x^{2} + 238x\big) + \big(-340x^{4} -1096x^{3} + 274x^{2} + 238x\big).
Agrupando termos semelhantes:
Termos em x^{4}:
-510x^{4} - 340x^{4} = -850x^{4}.
Termos em x^{3}:
-3408x^{3} - 1096x^{3} = -4504x^{3}.
Termos em x^{2}:
443x^{2} + 274x^{2} = 717x^{2}.
Termos em x:
238x + 238x = 476x.
Portanto a derivada simplificada é
f'(x) = -850x^{4} -4504x^{3} + 717x^{2} + 476x.

Resposta

f'(x) = -850x^{4} - 4504x^{3} + 717x^{2} + 476x

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