Aplicando as regras básicas de diferenciação, determine a derivada de cada função.
f(x)=(6x2+7x+18x3−52x3)(5x2+22x+12x)
f(x)=(6x2+7x+18x3−52x3)(5x2+22x+12x)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
definida por
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Portanto podemos reescrever a função, que será usada na resolução:
Passo 2
Vamos escolher o método: como
é produto de duas funções polinomiais, usaremos a regra do produto. Antes de aplicar, reviso as regras básicas que vou usar.
Regra do produto (fórmula):
Explicação:
e
são funções de
;
e
são as derivadas delas. A derivada do produto é a soma de dois produtos: derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Regra da soma e constante multiplicativa (serão usadas para termos do polinômio):
Regra do poder (power rule), usada para monômios:
onde
é um número real (aqui
será inteiro positivo).
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Defino as duas funções que compõem o produto:
Agora calculo as derivadas termo a termo usando a regra do poder e a linearidade.
Derivando
:
Portanto
Derivando
:
Portanto
Passo 4
Aplico a regra do produto:
Vou calcular cada parcela separadamente e simplificar passo a passo.
Primeira parcela
:
Faço a multiplicação distribuída (cada termo do primeiro pelo segundo fator):
Multiplicando por
:
Multiplicando por
:
Somando termos semelhantes:
Segunda parcela
:
Novamente multiplico termo a termo.
Multiplicando por
:
Multiplicando por
:
Somando termos semelhantes:
Passo 5
Agora somo as duas parcelas para obter
:
Agrupando termos semelhantes:
Termos em
:
Termos em
:
Termos em
:
Termos em
:
Portanto a derivada simplificada é