Determine a derivada das funções compostas a seguir;
y=\operatorname{sen} 7 x+\operatorname{sen} x+\cos 3 x-\operatorname{sen} \cos \sqrt{x^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y=\operatorname{sen}7x+\operatorname{sen}x+\cos3x-\operatorname{sen}\cos\sqrt{x^{3}+1}.
Informações relevantes que o enunciado dá (listei os termos que vamos derivar):
\text{(i)}\\ \operatorname{sen}7x,\qquad \text{(ii)}\\ \operatorname{sen}x,\qquad \text{(iii)}\\ \cos3x,\qquad \text{(iv)}\\\ -\operatorname{sen}\big(\cos(\sqrt{x^{3}+1})\big).
A tarefa é calcular \dfrac{dy}{dx}, isto é, a derivada de y em relação a x. Neste passo não resolvo nada; apenas identifiquei o que é pedido e quais expressões aparecem.

Passo 2

Relembrando as fórmulas que vamos usar (aqui explico cada uma de forma didática):
  • Derivada da função seno composta: se u=u(x) então
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}u\big)=\cos u\cdot u'.
Isso é a regra da cadeia: derivamos a função exterior ( \operatorname{sen}) avaliando sua derivada em u e multiplicamos pela derivada de u.
  • Derivada da função cosseno composta: se u=u(x) então
\frac{d}{dx}\big(\cos u\big)=-\sin u\cdot u'.
  • Derivada da raiz quadrada: se v=v(x) então \sqrt{v}=v^{1/2} e
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{v}\big)=\frac{1}{2}v^{-1/2}\cdot v'=\frac{v'}{2\sqrt{v}}.
  • Derivada de uma função linear dentro de outra (ex.: u=ax) segue a regra da cadeia também: \dfrac{d}{dx}(\operatorname{sen}(ax))=\cos(ax)\cdot a.
Exemplo rápido para fixar: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(5x)=\cos(5x)\cdot5. A ideia é sempre: derive o exterior e multiplique pela derivada do interior.

Passo 3

Derivo os três primeiros termos, que são diretos aplicando as fórmulas acima:
  • Para \operatorname{sen}7x use a regra da cadeia com u(x)=7x:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}7x\big)=\cos(7x)\cdot 7=7\cos(7x).
  • Para \operatorname{sen}x (a interior é x, cuja derivada é 1):
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}x\big)=\cos x.
  • Para \cos3x, com u(x)=3x:
\frac{d}{dx}\big(\cos3x\big)=-\sin(3x)\cdot 3=-3\sin(3x).

Passo 4

Agora o termo complicado: -\operatorname{sen}\big(\cos(\sqrt{x^{3}+1})\big).
Vou decompor em funções aninhadas (isso ajuda a aplicar a regra da cadeia passo a passo). Defino:
v(x)=x^{3}+1,
w(x)=\sqrt{v(x)}=\big(v(x)\big)^{1/2},
z(x)=\cos\big(w(x)\big),
s(x)=\operatorname{sen}\big(z(x)\big).
O termo no y é -s(x). Vou achar s'(x) passo a passo e depois lembrar do sinal negativo à frente.

Passo 5

Derivo cada camada de dentro para fora:
  1. Derivada de v(x)=x^{3}+1:
v'(x)=3x^{2}.
  1. Derivada de w(x)=\sqrt{v(x)}. Usando a fórmula da raiz:
w'(x)=\frac{v'(x)}{2\sqrt{v(x)}}=\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}.
Expliquei: aqui apliquei \dfrac{d}{dx}\sqrt{v}=\dfrac{v'}{2\sqrt v} com v=x^3+1.
3. Derivada de z(x)=\cos(w(x)). Usando a regra da cadeia para cosseno:
z'(x)=-\sin\big(w(x)\big)\cdot w'(x)=-\sin\big(\sqrt{x^{3}+1}\big)\cdot\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}.
  1. Derivada de s(x)=\operatorname{sen}(z(x)). Aplicando a regra da cadeia para seno:
s'(x)=\cos\big(z(x)\big)\cdot z'(x)=\cos\big(\cos(\sqrt{x^{3}+1})\big)\cdot z'(x).
Agora substituo z'(x) obtido no passo anterior:
s'(x)=\cos\big(\cos(\sqrt{x^{3}+1})\big)\cdot\Big(-\sin\big(\sqrt{x^{3}+1}\big)\cdot\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}\Big).
Ou seja,
s'(x)=-\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}\;\cos\big(\cos(\sqrt{x^{3}+1})\big)\;\sin\big(\sqrt{x^{3}+1}\big).

Passo 6

Lembre que o termo no y é -s(x). Então a derivada desse termo é
\frac{d}{dx}\big(-s(x)\big)=-s'(x).
Como s'(x) é negativo (tem um sinal menos), o menos externo troca o sinal, resultando em expressão positiva. Substituindo s'(x):
\frac{d}{dx}\Big(-\operatorname{sen}\big(\cos(\sqrt{x^{3}+1})\big)\Big) =-\Big(-\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}\;\cos\big(\cos(\sqrt{x^{3}+1})\big)\;\sin\big(\sqrt{x^{3}+1}\big)\Big)
ou seja
\frac{d}{dx}\Big(-\operatorname{sen}\big(\cos(\sqrt{x^{3}+1})\big)\Big) =+\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}\;\cos\big(\cos(\sqrt{x^{3}+1})\big)\;\sin\big(\sqrt{x^{3}+1}\big).

Passo 7

Junto todas as derivadas obtidas nos passos anteriores para formar \dfrac{dy}{dx}:
  • de \operatorname{sen}7x: 7\cos(7x),
  • de \operatorname{sen}x: \cos x,
  • de \cos3x: -3\sin(3x),
  • do termo aninhado: \dfrac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}\cos\big(\cos(\sqrt{x^{3}+1})\big)\sin\big(\sqrt{x^{3}+1}\big).
Somando tudo:
\frac{dy}{dx}=7\cos(7x)+\cos x-3\sin(3x)+\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}\;\cos\big(\cos(\sqrt{x^{3}+1})\big)\;\sin\big(\sqrt{x^{3}+1}\big).

Resposta

\frac{dy}{dx}=7\cos(7x)+\cos x-3\sin(3x)+\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}\cos\big(\cos(\sqrt{x^{3}+1})\big)\sin\big(\sqrt{x^{3}+1}\big)

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