Determine a derivada das funções compostas a seguir;
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações relevantes que o enunciado dá (listei os termos que vamos derivar):
A tarefa é calcular
, isto é, a derivada de
em relação a
. Neste passo não resolvo nada; apenas identifiquei o que é pedido e quais expressões aparecem.
Passo 2
Relembrando as fórmulas que vamos usar (aqui explico cada uma de forma didática):
- Derivada da função seno composta: se
então
Isso é a regra da cadeia: derivamos a função exterior (
) avaliando sua derivada em
e multiplicamos pela derivada de
.
- Derivada da função cosseno composta: se
então
- Derivada da raiz quadrada: se
então e
- Derivada de uma função linear dentro de outra (ex.:
) segue a regra da cadeia também: .
Exemplo rápido para fixar:
. A ideia é sempre: derive o exterior e multiplique pela derivada do interior.
Passo 3
Derivo os três primeiros termos, que são diretos aplicando as fórmulas acima:
- Para
use a regra da cadeia com :
- Para
(a interior é , cuja derivada é ):
- Para
, com :
Passo 4
Agora o termo complicado:
.
Vou decompor em funções aninhadas (isso ajuda a aplicar a regra da cadeia passo a passo). Defino:
Vou decompor em funções aninhadas (isso ajuda a aplicar a regra da cadeia passo a passo). Defino:
O termo no
é
. Vou achar
passo a passo e depois lembrar do sinal negativo à frente.
Passo 5
Derivo cada camada de dentro para fora:
- Derivada de
:
- Derivada de
. Usando a fórmula da raiz:
Expliquei: aqui apliquei
com
.
3. Derivada de . Usando a regra da cadeia para cosseno:
3. Derivada de
- Derivada de
. Aplicando a regra da cadeia para seno:
Agora substituo
obtido no passo anterior:
Ou seja,
Passo 6
Lembre que o termo no
é
. Então a derivada desse termo é
Como
é negativo (tem um sinal menos), o menos externo troca o sinal, resultando em expressão positiva. Substituindo
:
ou seja
Passo 7
Junto todas as derivadas obtidas nos passos anteriores para formar
:
- de
: , - de
: , - de
: , - do termo aninhado:
.
Somando tudo: