- Suponha que a força elástica de uma mola “cansada” é dada por
onde
é o deslocamento da mola a partir seu comprimento de repouso. Qual o trabalho realizado para esticar a mola até uma posição arbitrária
?
Passo 1
O enunciado dá a força elástica da mola e pede o trabalho para esticá-la. Informações importantes fornecidas:
onde
é o deslocamento a partir do comprimento de repouso e
é uma constante positiva. A pergunta é: “Qual o trabalho realizado para esticar a mola até uma posição arbitrária
?”
Listei explicitamente os dados: a expressão da força e a variável final . Nada mais será pedido no Passo 1.
Listei explicitamente os dados: a expressão da força e a variável final
Passo 2
Conceito de trabalho com força variável (aulas básicas): se uma força
depende da posição
, o trabalho realizado pela própria força ao mover o objeto de
até
é dado por
Aqui
é a variável de integração que representa uma posição intermediária entre
e
;
é um deslocamento infinitesimal. A ideia é dividir o movimento em muitos pequenos passos
, aproximar a força como constante em cada pedaço e somar os trabalhos
(é a definição integral).
Passo 3
Observe o sinal e o tipo de trabalho pedido. A força dada
é a força da mola (força interna que puxa a mola de volta). Para esticar a mola quase-státicamente, o agente externo aplica uma força que compensa essa força da mola ponto a ponto. Portanto:
Duas quantidades úteis:
- Trabalho realizado pela mola (força elástica) ao ir de
até :
- Trabalho realizado pelo agente externo (que é o que os textos normalmente entendem por “trabalho para esticar a mola”):
Vou calcular ambas para ficar claro, e a resposta final pediria o trabalho realizado para esticar (ou seja, pelo agente externo).
Passo 4
Calcule o trabalho realizado pela mola usando a expressão dada. Substituindo
na integral:
Fatora-se a constante
:
A primitiva de
é
. Então
Aplicando aos limites
a
:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora o trabalho realizado pelo agente externo (para esticar) é o negativo do anterior:
Expliquei:
costuma ser negativo (a mola absorve energia), enquanto
é positivo (o agente fornece energia).
Passo 6
Interpretação e verificação pela aproximação para pequenos
: para
pequeno,
e
. Assim
que coincide com a expressão clássica da energia elástica para uma mola linear
. Bom sinal de que o resultado faz sentido.
Passo 7
Resumo final (lembrete do que cada símbolo significa):
-
é a constante dada da mola (positiva). -
é o deslocamento final a partir do repouso. -
é o trabalho fornecido pelo agente externo para esticar a mola de até . -
é o trabalho realizado pela própria mola no mesmo deslocamento (é o negativo de ).