1. Suponha que a força elástica de uma mola “cansada” é dada por
F(x)=-k \operatorname{sen}(x)
onde x \geq 0 é o deslocamento da mola a partir seu comprimento de repouso. Qual o trabalho realizado para esticar a mola até uma posição arbitrária x ?

Passo 1

O enunciado dá a força elástica da mola e pede o trabalho para esticá-la. Informações importantes fornecidas:
F(x) = -k \operatorname{sen}(x),\qquad x\ge 0,
onde x é o deslocamento a partir do comprimento de repouso e k é uma constante positiva. A pergunta é: “Qual o trabalho realizado para esticar a mola até uma posição arbitrária x ?”
Listei explicitamente os dados: a expressão da força e a variável final x. Nada mais será pedido no Passo 1.

Passo 2

Conceito de trabalho com força variável (aulas básicas): se uma força F depende da posição s, o trabalho realizado pela própria força ao mover o objeto de s=a até s=b é dado por
W_{\text{força}}=\int_{a}^{b} F(s)\,ds.ç
Aqui s é a variável de integração que representa uma posição intermediária entre a e b; ds é um deslocamento infinitesimal. A ideia é dividir o movimento em muitos pequenos passos ds, aproximar a força como constante em cada pedaço e somar os trabalhos F\,ds (é a definição integral).

Passo 3

Observe o sinal e o tipo de trabalho pedido. A força dada F(x)=-k\operatorname{sen}(x) é a força da mola (força interna que puxa a mola de volta). Para esticar a mola quase-státicamente, o agente externo aplica uma força que compensa essa força da mola ponto a ponto. Portanto:
F_{\text{ext}}(s) = -F(s).
Duas quantidades úteis:
  • Trabalho realizado pela mola (força elástica) ao ir de 0 até x:
W_{\text{mola}}=\int_{0}^{x} F(s)\,ds.
  • Trabalho realizado pelo agente externo (que é o que os textos normalmente entendem por “trabalho para esticar a mola”):
W_{\text{ext}}=\int_{0}^{x} F_{\text{ext}}(s)\,ds = -\int_{0}^{x} F(s)\,ds.
Vou calcular ambas para ficar claro, e a resposta final pediria o trabalho realizado para esticar (ou seja, pelo agente externo).

Passo 4

Calcule o trabalho realizado pela mola usando a expressão dada. Substituindo F(s)=-k\operatorname{sen}(s) na integral:
W_{\text{mola}}=\int_{0}^{x} -k\operatorname{sen}(s)\,ds.
Fatora-se a constante -k:
W_{\text{mola}} = -k\int_{0}^{x} \operatorname{sen}(s)\,ds.
A primitiva de \operatorname{sen}(s) é -\operatorname{cos}(s). Então
\int \operatorname{sen}(s)\,ds = -\operatorname{cos}(s) + C.
Aplicando aos limites 0 a x:
\int_{0}^{x} \operatorname{sen}(s)\,ds = \big[-\operatorname{cos}(s)\big]_{0}^{x} = -\operatorname{cos}(x) -\big(-\operatorname{cos}(0)\big) = -\operatorname{cos}(x) +1.
Substituindo de volta:
W_{\text{mola}} = -k\big(-\operatorname{cos}(x) +1\big) = k\big(\operatorname{cos}(x)-1\big).

Passo 5

Agora o trabalho realizado pelo agente externo (para esticar) é o negativo do anterior:
W_{\text{ext}} = -W_{\text{mola}} = -k\big(\operatorname{cos}(x)-1\big) = k\big(1-\operatorname{cos}(x)\big).
Expliquei: W_{\text{mola}} costuma ser negativo (a mola absorve energia), enquanto W_{\text{ext}} é positivo (o agente fornece energia).

Passo 6

Interpretação e verificação pela aproximação para pequenos x: para x pequeno, \operatorname{sen}(x)\approx x e \operatorname{cos}(x)\approx 1-\dfrac{x^{2}}{2}. Assim
W_{\text{ext}} \approx k\left(1 - \left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)\right) = \frac{kx^{2}}{2},
que coincide com a expressão clássica da energia elástica para uma mola linear F=-kx. Bom sinal de que o resultado faz sentido.

Passo 7

Resumo final (lembrete do que cada símbolo significa):
  • k é a constante dada da mola (positiva).
  • x é o deslocamento final a partir do repouso.
  • W_{\text{ext}} = k(1-\operatorname{cos}(x)) é o trabalho fornecido pelo agente externo para esticar a mola de 0 até x.
  • W_{\text{mola}} = k(\operatorname{cos}(x)-1) é o trabalho realizado pela própria mola no mesmo deslocamento (é o negativo de W_{\text{ext}}).

Resposta

W = k\big(1-\operatorname{cos}(x)\big)

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