Aplicando as regras dos produtos notáveis, desenvolva:
\left(3 a^{2}-1\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a expressão \left(3 a^{2}-1\right)^{2} aplicando produtos notáveis. Informação dada:
  • A expressão a desenvolver é \left(3 a^{2}-1\right)^{2}.
  • Não há outros dados numéricos ou restrições.

Passo 2

Vamos lembrar o produto notável que vamos usar: a fórmula do quadrado da diferença. Ela diz:
(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}.
Explicando a fórmula: x e y são quaisquer expressões algébricas. O lado direito tem três termos:
  • x^{2} é o quadrado do primeiro termo;
  • -2xy é o duplo produto do primeiro pelo segundo (com sinal negativo porque é diferença);
  • y^{2} é o quadrado do segundo termo.

Passo 3

Identificamos, na nossa expressão, quais são x e y. Comparando \left(3 a^{2}-1\right)^{2} com (x-y)^{2}, temos:
x=3a^{2},\qquad y=1.
Aqui x é a expressão 3a^{2} e y é o número 1.

Passo 4

Calcular x^{2}. Substituindo x=3a^{2}:
x^{2}=(3a^{2})^{2}.
Explicando como elevar um produto ao quadrado: (k\cdot m)^{2}=k^{2}\cdot m^{2}. Então
(3a^{2})^{2}=3^{2}\cdot (a^{2})^{2}=9\cdot a^{4}=9a^{4}.
Observe que (a^{2})^{2}=a^{4} porque ao elevar potências multiplicam-se os expoentes: (a^{p})^{q}=a^{pq}.

Passo 5

Calcular o termo -2xy. Substituindo x=3a^{2} e y=1:
-2xy=-2\cdot(3a^{2})\cdot 1.
Multiplicando os fatores:
-2\cdot 3a^{2}\cdot 1 = -6a^{2}.
Explicação: multiplicação por 1 não altera o valor, e os coeficientes numéricos multiplicam-se: -2\cdot 3=-6.

Passo 6

Calcular y^{2}. Como y=1:
y^{2}=1^{2}=1.

Passo 7

Juntando os três termos segundo a fórmula (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}, substituímos os resultados dos passos anteriores:
(3a^{2}-1)^{2}=9a^{4}-6a^{2}+1.
Isso é o desenvolvimento completo, já simplificado (não há termos semelhantes além dos já combinados).

Resposta

9a^{4}-6a^{2}+1

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