Fatore as expressões:
Passo 1
O enunciado dá a expressão que precisa ser fatorada:
O que se pede: escrever essa expressão como um produto de fatores (fatoração). Vou listar as informações relevantes que temos:
- Os coeficientes dos termos são
, e . - As potências de
nos termos são , e .
O objetivo é identificar fatores comuns e simplificar a expressão numa forma fatorada.
Passo 2
Procuro primeiro o fator numérico comum (o máximo divisor comum dos coeficientes). Calculo o MDC de
,
e
.
-
divide , e .
Portanto o fator numérico comum é.
Explicação rápida (útil para prova): o MDC é o maior inteiro que divide todos os coeficientes. Aqui é óbvio porque
é primo e aparece em todos.
Passo 3
Agora procuro o fator literal comum (a menor potência de
que aparece em todos os termos). As potências são
,
e
. A menor potência é
, ou simplesmente
. Logo o fator literal comum é
.
Regra prática: ao fatorar, para a parte literal pega-se a menor potência presente em todos os termos.
Passo 4
Combinando os fatores comuns, o fator comum total é
. Vou dividir cada termo por
para escrever a fatoração:
Assim a expressão fatorada é
Passo 5
Verifico se o polinômio dentro do parêntese
factoriza mais (por exemplo em fatores lineares com coeficientes racionais). Para isso calculo o discriminante da quadrática
(aqui com
,
,
):
Como
, a quadrática não tem raízes reais e portanto não fatoriza em fatores lineares com coeficientes reais (muito menos racionais). Podemos também completar o quadrado para ver outra forma:
o que confirma que não há fatoração em fatores lineares reais.
Passo 6
Resumo didático para a prova: primeiro sempre tente extrair o máximo divisor comum (numérico e literal). Aqui foi
. Depois veja se o polinômio restante admite fatoração quadrática (verificando o discriminante). Como
, paramos aqui.