Fatore as expressões:
7 a^{3}+14 a^{2}+21 a

Passo 1

O enunciado dá a expressão que precisa ser fatorada:
7 a^{3}+14 a^{2}+21 a.
O que se pede: escrever essa expressão como um produto de fatores (fatoração). Vou listar as informações relevantes que temos:
  • Os coeficientes dos termos são 7, 14 e 21.
  • As potências de a nos termos são a^{3}, a^{2} e a.
    O objetivo é identificar fatores comuns e simplificar a expressão numa forma fatorada.

Passo 2

Procuro primeiro o fator numérico comum (o máximo divisor comum dos coeficientes). Calculo o MDC de 7, 14 e 21.
  • 7 divide 7, 14 e 21.
    Portanto o fator numérico comum é 7.
Explicação rápida (útil para prova): o MDC é o maior inteiro que divide todos os coeficientes. Aqui é óbvio porque 7 é primo e aparece em todos.

Passo 3

Agora procuro o fator literal comum (a menor potência de a que aparece em todos os termos). As potências são a^{3}, a^{2} e a^{1}. A menor potência é a^{1}, ou simplesmente a. Logo o fator literal comum é a.
Regra prática: ao fatorar, para a parte literal pega-se a menor potência presente em todos os termos.

Passo 4

Combinando os fatores comuns, o fator comum total é 7a. Vou dividir cada termo por 7a para escrever a fatoração:
\frac{7a^{3}}{7a}=a^{2},\qquad \frac{14a^{2}}{7a}=2a,\qquad \frac{21a}{7a}=3.
Assim a expressão fatorada é
7a\bigl(a^{2}+2a+3\bigr).

Passo 5

Verifico se o polinômio dentro do parêntese a^{2}+2a+3 factoriza mais (por exemplo em fatores lineares com coeficientes racionais). Para isso calculo o discriminante da quadrática ax^{2}+bx+c (aqui com a=1, b=2, c=3):
\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4\cdot1\cdot3 = 4-12 = -8.
Como \Delta<0, a quadrática não tem raízes reais e portanto não fatoriza em fatores lineares com coeficientes reais (muito menos racionais). Podemos também completar o quadrado para ver outra forma:
a^{2}+2a+3=(a+1)^{2}+2,
o que confirma que não há fatoração em fatores lineares reais.

Passo 6

Resumo didático para a prova: primeiro sempre tente extrair o máximo divisor comum (numérico e literal). Aqui foi 7a. Depois veja se o polinômio restante admite fatoração quadrática (verificando o discriminante). Como \Delta=-8<0, paramos aqui.

Resposta

7a\bigl(a^{2}+2a+3\bigr)

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