Aplicando uma taxa de desconto racional simples de
ao ano, um título sofreu um desconto de
250,00$, três meses antes do vencimento. Caso fosse descontado comercialmente, mantendo-se as mesmas condições, qual seria o valor do desconto?
Resp.: $262,50.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa: \n
- Foi aplicado um desconto racional simples de
ao ano e o desconto obtido foi de . \n - O desconto ocorreu
meses antes do vencimento. \n - Pede-se: supondo as mesmas condições (mesma taxa e mesma antecedência), qual seria o valor do desconto se o desconto fosse comercial? \n
Lista das informações relevantes (tal como estão no enunciado): \n -
\n -
\n -
meses \n
O que precisamos encontrar: \n -
(o desconto comercial, também chamado de desconto bancário simples).
Passo 2
Explicação didática dos conceitos e das fórmulas que vamos usar (sem ainda calcular): \n
- Desconto racional simples (também chamado de desconto “verdadeiro” ou “por dentro”): parte do valor nominal
(valor de face) é trazido ao valor presente usando a taxa simples; o desconto racional é a diferença entre e . A fórmula do valor presente é
onde
= valor nominal (face),
= taxa anual em forma decimal,
= tempo em anos. Então o desconto racional é
Expliquei passo a passo: primeiro calcula-se quanto vale hoje um título que paga
no futuro dividindo por
; a diferença entre
e esse valor presente é o desconto aplicado racionalmente. \n
- Desconto comercial simples (ou desconto bancário): é calculado diretamente sobre o valor nominal
, proporcional ao tempo e à taxa, pela fórmula
Intuitivamente, no desconto comercial você “desconta” sobre o valor total
; no racional você descobre quanto vale hoje e a diferença é o desconto.
Passo 3
Usar a fórmula do desconto racional para relacionar o desconto dado com o valor nominal
. Substituindo a expressão do desconto racional:
Agora substituímos os valores conhecidos
,
e
. Primeiro calcule
:
Portanto a fórmula fica
Passo 4
Resolver a equação para
(mostrar cada passo algébrico com calma): \n
A fração é
. Assim
A fração
Isolando
,
Calcule a razão
. Observe que
. Então
Concluímos que o valor nominal (face) do título é
. (Se ficar mais confortável:
e
, somando dá
.)
Passo 5
Agora calcule o desconto comercial com a fórmula
. Substituindo
,
e
:
Calcule passo a passo:
. Então
Multiplicando:
\n
Portanto o desconto comercial seria .
Portanto o desconto comercial seria