Aplicando uma taxa de desconto racional simples de 20 \% ao ano, um título sofreu um desconto de \ 250,00$, três meses antes do vencimento. Caso fosse descontado comercialmente, mantendo-se as mesmas condições, qual seria o valor do desconto?
Resp.: $262,50.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa: \n
  • Foi aplicado um desconto racional simples de 20\% ao ano e o desconto obtido foi de \$250,00. \n
  • O desconto ocorreu 3 meses antes do vencimento. \n
  • Pede-se: supondo as mesmas condições (mesma taxa e mesma antecedência), qual seria o valor do desconto se o desconto fosse comercial? \n
    Lista das informações relevantes (tal como estão no enunciado): \n
  • D_{\text{racional}} = \$250,00 \n
  • r = 20\% \text{ ao ano} = 0,20 \n
  • t = 3 meses = \dfrac{3}{12} \text{ ano} = 0,25 \n
    O que precisamos encontrar: \n
  • D_{\text{comercial}} (o desconto comercial, também chamado de desconto bancário simples).

Passo 2

Explicação didática dos conceitos e das fórmulas que vamos usar (sem ainda calcular): \n
  • Desconto racional simples (também chamado de desconto “verdadeiro” ou “por dentro”): parte do valor nominal F (valor de face) é trazido ao valor presente PV usando a taxa simples; o desconto racional é a diferença entre F e PV. A fórmula do valor presente é
PV=\frac{F}{1+rt},
onde F = valor nominal (face), r = taxa anual em forma decimal, t = tempo em anos. Então o desconto racional é
D_{\text{racional}}=F-PV=F-\frac{F}{1+rt}=F\left(1-\frac{1}{1+rt}\right)=F\cdot\frac{rt}{1+rt}.
Expliquei passo a passo: primeiro calcula-se quanto vale hoje um título que paga F no futuro dividindo por 1+rt; a diferença entre F e esse valor presente é o desconto aplicado racionalmente. \n
  • Desconto comercial simples (ou desconto bancário): é calculado diretamente sobre o valor nominal F, proporcional ao tempo e à taxa, pela fórmula
D_{\text{comercial}}=F\cdot r\cdot t.
Intuitivamente, no desconto comercial você “desconta” sobre o valor total F; no racional você descobre quanto vale hoje e a diferença é o desconto.

Passo 3

Usar a fórmula do desconto racional para relacionar o desconto dado com o valor nominal F. Substituindo a expressão do desconto racional:
D_{\text{racional}}=F\cdot\frac{rt}{1+rt}.
Agora substituímos os valores conhecidos D_{\text{racional}}=\$250,00, r=0,20 e t=0,25. Primeiro calcule rt:
rt=0,20\cdot 0,25=0,05.
Portanto a fórmula fica
250 = F\cdot\frac{0,05}{1+0,05}.

Passo 4

Resolver a equação para F (mostrar cada passo algébrico com calma): \n
A fração \dfrac{0,05}{1+0,05} é \dfrac{0,05}{1,05}. Assim
250 = F\cdot\frac{0,05}{1,05}.
Isolando F,
F = 250\cdot\frac{1,05}{0,05}.
Calcule a razão \dfrac{1,05}{0,05}. Observe que \dfrac{1,05}{0,05}=\dfrac{105}{5}=21. Então
F = 250\cdot 21 = 5250.
Concluímos que o valor nominal (face) do título é F=\$5250,00. (Se ficar mais confortável: 250\times 20=5000 e 250\times 1=250, somando dá 5250.)

Passo 5

Agora calcule o desconto comercial com a fórmula D_{\text{comercial}}=F\cdot r\cdot t. Substituindo F=\$5250,00, r=0,20 e t=0,25:
D_{\text{comercial}} = 5250\cdot 0,20\cdot 0,25.
Calcule passo a passo: 0,20\cdot 0,25=0,05. Então
D_{\text{comercial}} = 5250\cdot 0,05.
Multiplicando: 5250\cdot 0,05 = 5250\cdot \dfrac{5}{100} = \dfrac{5250\cdot 5}{100} = \dfrac{26250}{100} = 262,50. \n
Portanto o desconto comercial seria \$262,50.

Resposta

\$262,50

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