No desconto de um a duplicata no valor de \ 7.200,00 e vencimento para 7 meses, o banco cobra uma taxa de desconto comercial de24 % ao ano e uma taxa de serviços deç0,05 %$. Determinar o valor líquido recebido e a taxa efetiva mensal de juros compostos da operação.
Resp.: $6.188,40 e 2,19% ao mês.

Passo 1

O enunciado dá uma duplicata (valor nominal) de \$7.200,00 com vencimento em 7 meses. O banco aplica dois encargos: (i) taxa de desconto comercial de 24\% ao ano e (ii) taxa de serviços de 0{,}05\%. Pede-se: (A) o valor líquido recebido hoje (após desconto e taxa de serviços) e (B) a taxa efetiva mensal de juros compostos correspondente à operação.
Informações úteis extraídas do enunciado:
\;F=\$7.200,00 (valor nominal da duplicata)
\;d_{\text{a.a.}}=24\%=0,24 (taxa de desconto comercial ao ano)
\;t=7 meses =\dfrac{7}{12} ano (tempo até o vencimento)
\;s=0{,}05\%=0,0005 (taxa de serviços)
O que vamos calcular: o valor líquido N recebido hoje e a taxa mensal efetiva i tal que N seja o valor presente composto de F a 7 meses.

Passo 2

Entendendo e aplicando o desconto comercial simples (desconto bancário):
O desconto comercial (ou desconto “por fora”, também chamado de desconto simples comercial) é calculado sobre o valor nominal da duplicata e é proporcional ao tempo em anos. A fórmula é
D = F \cdot d \cdot t,
onde D é o valor do desconto, F é o valor nominal, d é a taxa anual (em decimal) e t é o tempo em anos. Aqui t=\dfrac{7}{12}. Substituindo:
D = \$7.200,00 \cdot 0{,}24 \cdot \dfrac{7}{12}.
Calculemos passo a passo: primeiro \dfrac{7}{12}=0{,}5833\ldots. Em seguida 0{,}24\cdot\dfrac{7}{12}=0{,}24\cdot0{,}5833\ldots=0{,}14. Portanto
D = \$7.200,00\cdot0{,}14=\$1.008,00.
Interpretação: o banco “retira” \$1.008,00 do valor nominal como desconto comercial.

Passo 3

Cálculo da taxa de serviços: o enunciado diz que a taxa de serviços é 0{,}05\%. A prática usual (e a que leva ao resultado pedido) é aplicar essa taxa sobre o valor nominal F. A fórmula é
S = F \cdot s,
onde S é o valor da taxa de serviços e s é a taxa em decimal. Substituindo:
S = \$7.200,00 \cdot 0{,}0005 = \$3,60.
Comentário didático: essa taxa é muito pequena (aplicada sobre o nominal), por isso o valor é apenas \$3,60.

Passo 4

Cálculo do valor líquido recebido hoje: subtrai-se do valor nominal o desconto comercial e a taxa de serviços:
N = F - D - S.
Substituindo os números que já calculamos:
N = \$7.200,00 - \$1.008,00 - \$3,60 = \$6.188,40.
Interpretação: o cliente recebe líquido \$6.188,40 hoje em troca da duplicata que valerá \$7.200,00 em 7 meses.

Passo 5

Modelagem para obter a taxa efetiva mensal composta: queremos a taxa mensal i tal que o valor presente (no regime de juros compostos mensais) de F em 7 meses seja exatamente N. A relação é
N = \dfrac{F}{(1+i)^{7}}.
Isso significa que F descontado a juros compostos mensais à taxa i por 7 períodos dá N. Reescrevendo para isolar i:
(1+i)^{7} = \dfrac{F}{N} \quad\Longrightarrow\quad 1+i = \left(\dfrac{F}{N}\right)^{1/7} \quad\Longrightarrow\quad i = \left(\dfrac{F}{N}\right)^{1/7} - 1.

Passo 6

Substituição numérica e cálculo de i: já temos F=\$7.200,00 e N=\$6.188,40. Então
\frac{F}{N}=\frac{\$7.200,00}{\$6.188,40}\approx 1{,}163465\ldots
Agora calculamos a raiz sétima:
1+i = (1{,}163465\ldots)^{1/7}.
Para computar isso fazemos logaritmo natural (ou outra base) e exponenciação:
\ln(1+i)=\frac{1}{7}\ln\!\biggl(\frac{F}{N}\biggr).
Numericamente:
\ln\!\biggl(\frac{F}{N}\biggr)=\ln(1{,}163465\ldots)\approx 0{,}151468\ldots
\frac{1}{7}\ln\!\biggl(\frac{F}{N}\biggr)\approx \frac{0{,}151468}{7}\approx 0{,}0216383\ldots
Logo
1+i \approx e^{0{,}0216383\ldots}\approx 1{,}021879\ldots
e finalmente
i \approx 0{,}021879\ldots = 2{,}1879\%\\ \text{ao mês}.ê

Passo 7

Arredondamento e interpretação final: arredondando para duas casas decimais no percentual mensal (como é usual em finanças), obtemos i\approx 2{,}19\% ao mês. Isso significa que a operação do banco equivale a cobrar, numa base composta mensal, cerca de 2{,}19\% por mês sobre o capital implícito.

Resposta

\$6.188,40
2,19\%\\ \text{ao mês}ê

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