No desconto de um a duplicata no valor de
7.200,00
24 %
0,05 %$. Determinar o valor líquido recebido e a taxa efetiva mensal de juros compostos da operação.
Resp.: $6.188,40 e 2,19% ao mês.
Passo 1
O enunciado dá uma duplicata (valor nominal) de
com vencimento em
meses. O banco aplica dois encargos: (i) taxa de desconto comercial de
ao ano e (ii) taxa de serviços de
. Pede-se: (A) o valor líquido recebido hoje (após desconto e taxa de serviços) e (B) a taxa efetiva mensal de juros compostos correspondente à operação.
Informações úteis extraídas do enunciado:
(valor nominal da duplicata)
(taxa de desconto comercial ao ano)
meses
ano (tempo até o vencimento)
(taxa de serviços)
O que vamos calcular: o valor líquido recebido hoje e a taxa mensal efetiva
tal que
seja o valor presente composto de
a
meses.
Informações úteis extraídas do enunciado:
O que vamos calcular: o valor líquido
Passo 2
Entendendo e aplicando o desconto comercial simples (desconto bancário):
O desconto comercial (ou desconto “por fora”, também chamado de desconto simples comercial) é calculado sobre o valor nominal da duplicata e é proporcional ao tempo em anos. A fórmula é
O desconto comercial (ou desconto “por fora”, também chamado de desconto simples comercial) é calculado sobre o valor nominal da duplicata e é proporcional ao tempo em anos. A fórmula é
onde
é o valor do desconto,
é o valor nominal,
é a taxa anual (em decimal) e
é o tempo em anos. Aqui
. Substituindo:
Calculemos passo a passo: primeiro
. Em seguida
. Portanto
Interpretação: o banco “retira”
do valor nominal como desconto comercial.
Passo 3
Cálculo da taxa de serviços: o enunciado diz que a taxa de serviços é
. A prática usual (e a que leva ao resultado pedido) é aplicar essa taxa sobre o valor nominal
. A fórmula é
onde
é o valor da taxa de serviços e
é a taxa em decimal. Substituindo:
Comentário didático: essa taxa é muito pequena (aplicada sobre o nominal), por isso o valor é apenas
.
Passo 4
Cálculo do valor líquido recebido hoje: subtrai-se do valor nominal o desconto comercial e a taxa de serviços:
Substituindo os números que já calculamos:
Interpretação: o cliente recebe líquido
hoje em troca da duplicata que valerá
em 7 meses.
Passo 5
Modelagem para obter a taxa efetiva mensal composta: queremos a taxa mensal
tal que o valor presente (no regime de juros compostos mensais) de
em
meses seja exatamente
. A relação é
Isso significa que
descontado a juros compostos mensais à taxa
por
períodos dá
. Reescrevendo para isolar
:
Passo 6
Substituição numérica e cálculo de
: já temos
e
. Então
Agora calculamos a raiz sétima:
Para computar isso fazemos logaritmo natural (ou outra base) e exponenciação:
Numericamente:
Logo
e finalmente
Passo 7
Arredondamento e interpretação final: arredondando para duas casas decimais no percentual mensal (como é usual em finanças), obtemos
ao mês. Isso significa que a operação do banco equivale a cobrar, numa base composta mensal, cerca de
por mês sobre o capital implícito.