Aplicar o formalismo hamiltoniano para obter as equações de movimento de um pêndulo duplo plano (restrito a se mover num plano paralelo ao campo gravitacional terrestre).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados vamos usar.
  • Pede: aplicar o formalismo hamiltoniano ao pêndulo duplo plano e obter as equações de movimento canônicas (isto é, as equações de Hamilton).
  • Vamos trabalhar com o pêndulo duplo clássico, com duas massas puntuais e hastes sem massa:
    • massas m_1 e m_2,
    • comprimentos das hastes l_1 e l_2,
    • aceleração da gravidade g.
  • Escolho como coordenadas generalizadas os ângulos \theta_1 e \theta_2, medidos a partir da vertical (ângulo zero = posição de equilíbrio vertical para baixo). Não vou assumir valores numéricos — a derivação será simbólica.
  • O objetivo final: escrever o Hamiltoniano H(\theta_1,\theta_2,p_1,p_2) e as equações de Hamilton \dot\theta_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\qquad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial \theta_i},explicitando \dot\theta_i e \dot p_i em termos de \theta_1,\theta_2,p_1,p_2.

Passo 2

Posições cartesianas e velocidades (como se faz sempre: escrevo x,y em função de \theta, depois derivo).
  • Origem no ponto de suspensão da primeira haste, eixo y apontando para cima.
  • Posições: x_1 = l_1\sin\theta_1,\qquad y_1 = -\,l_1\cos\theta_1,
x_2 = l_1\sin\theta_1 + l_2\sin\theta_2,\qquad y_2 = -\,l_1\cos\theta_1 - l_2\cos\theta_2.
(Estas fórmulas vêm do triângulo formado por cada haste; signo de y escolhido para que \theta=0 y=-l.)
  • Velocidades (derivando em relação ao tempo): \dot x_1 = l_1\cos\theta_1\,\dot\theta_1,\qquad \dot y_1 = l_1\sin\theta_1\,\dot\theta_1,
\dot x_2 = l_1\cos\theta_1\,\dot\theta_1 + l_2\cos\theta_2\,\dot\theta_2,
\dot y_2 = l_1\sin\theta_1\,\dot\theta_1 + l_2\sin\theta_2\,\dot\theta_2.

Passo 3

Energia cinética T. Vou usar T=\tfrac12\sum m_i(\dot x_i^2+\dot y_i^2) e simplificar cuidadosamente.
  • Para a massa m_1: \dot x_1^2+\dot y_1^2 = l_1^2\dot\theta_1^2.
  • Para a massa m_2: desenvolver o quadrado dá os termos cruzados: \dot x_2^2+\dot y_2^2 = l_1^2\dot\theta_1^2 + l_2^2\dot\theta_2^2 + 2l_1l_2\cos(\theta_1-\theta_2)\,\dot\theta_1\dot\theta_2.
  • Somando com os coeficientes m_1,m_2: T = \tfrac12 (m_1+m_2) l_1^2\dot\theta_1^2 + \tfrac12 m_2 l_2^2\dot\theta_2^2 + m_2 l_1 l_2\cos(\theta_1-\theta_2)\,\dot\theta_1\dot\theta_2.
Explicação rápida do termo cruzado: aparece porque a velocidade do segundo corpo depende do movimento das duas hastes; a projeção angular relativa cria o fator \cos(\theta_1-\theta_2).

Passo 4

Energia potencial V. Como V=\sum m_i g y_i e y_i foram definidas acima:
V = - (m_1+m_2) g l_1\cos\theta_1 - m_2 g l_2\cos\theta_2.
(Observe: usar V=-mg l\cos\theta é comum quando a referência é no ponto de suspensão.)

Passo 5

Lagrangiano e momentos canônicos. Lagrangiano L=T-V. Defino, para simplificar notação, três quantidades que aparecerão várias vezes:
a \equiv (m_1+m_2) l_1^2,\qquad b \equiv m_2 l_1 l_2 \cos(\theta_1-\theta_2),\qquad c \equiv m_2 l_2^2.
Então a energia cinética fica
T = \tfrac12\bigl(a\dot\theta_1^2 + c\dot\theta_2^2 + 2b\dot\theta_1\dot\theta_2\bigr).
Momentos canônicos (definição): p_i=\dfrac{\partial L}{\partial\dot\theta_i}. Calculando:
p_1 = a\dot\theta_1 + b\dot\theta_2,
p_2 = c\dot\theta_2 + b\dot\theta_1.
Isto é um sistema linear que relaciona os momentos p_i às velocidades \dot\theta_i.

Passo 6

Inversão do sistema para obter \dot\theta_i em função de p_i. Este passo é crucial porque, no Hamiltoniano, queremos H(\theta,p).
  • Escrevo em forma matricial \mathbf p = M \,\dot{\boldsymbol\theta} com M=\begin{pmatrix} a & b \\\ b & c \end{pmatrix}.
  • Determinante de M: \Delta \equiv \det M = ac - b^2.
  • Inversa (fórmula para matriz 2\times2): M^{-1}=\frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix} c & -b \\\\ -b & a \end{pmatrix}.
  • Logo \dot\theta_1 = \frac{c p_1 - b p_2}{\Delta},\qquad \dot\theta_2 = \frac{a p_2 - b p_1}{\Delta}.
Esta inversão é uma operação linear padrão; aqui \Delta depende de \theta_1,\theta_2 via b.

Passo 7

Hamiltoniano H(\theta,p). Fórmula geral para sistemas naturais: H=T+V, e com T=\tfrac12\dot{\boldsymbol\theta}^T M \dot{\boldsymbol\theta} = \tfrac12 \mathbf p^T M^{-1}\mathbf p. Portanto:
H(\theta_1,\theta_2,p_1,p_2) = \tfrac12 \begin{pmatrix}p_1 & p_2\end{pmatrix} M^{-1} \begin{pmatrix}p_1\\\ p_2\end{pmatrix} + V(\theta_1,\theta_2).
Usando a forma explícita de M^{-1} e V:
H = \frac{1}{2\Delta}\bigl(c p_1^2 + a p_2^2 - 2b p_1 p_2\bigr) - (m_1+m_2) g l_1\cos\theta_1 - m_2 g l_2\cos\theta_2.
Observação: a,c são constantes (depende apenas de massas e comprimentos), b e \Delta dependem de \theta_1-\theta_2.

Passo 8

Escrever as equações canônicas: primeiro as expressões já obtidas para \dot\theta_i vêm diretamente de \dot\theta_i=\partial H/\partial p_i. Reescrevo-as aqui (elas coincidem com a inversão feita):
\dot\theta_1 = \frac{c p_1 - b p_2}{\Delta},\qquad \dot\theta_2 = \frac{a p_2 - b p_1}{\Delta}.
Isto é natural: \dot\theta = M^{-1} p.

Passo 9

Agora \dot p_i = -\partial H/\partial\theta_i. Devemos derivar o Hamiltoniano em relação a \theta_1 e \theta_2. Vou organizar a derivação em peças para não perder ninguém no meio das contas.
  • Defino também Q \equiv c p_1^2 + a p_2^2 - 2 b p_1 p_2,de modo que a parte cinética do Hamiltoniano é K=\dfrac{Q}{2\Delta}.
  • Então \partial H/\partial\theta_i = \partial K/\partial\theta_i + \partial V/\partial\theta_i.
  • Note que a,c são constantes, enquanto b=b(\theta_1-\theta_2)=m_2 l_1 l_2\cos(\theta_1-\theta_2) e \Delta=ac-b^2 dependem dos ângulos. Logo tanto Q como \Delta dependem de \theta_1,\theta_2 via b.

Passo 10

Cálculo explícito de -\partial H/\partial\theta_1 e -\partial H/\partial\theta_2. Farei a conta mostrando os fatores que aparecem (não pulei etapas críticas).
  • Primeiro derivadas de V:
    \frac{\partial V}{\partial\theta_1} = (m_1+m_2) g l_1 \sin\theta_1,\qquad \frac{\partial V}{\partial\theta_2} = m_2 g l_2 \sin\theta_2.
    (pois V=- (m_1+m_2) g l_1\cos\theta_1 - m_2 g l_2\cos\theta_2.)
  • Agora a parte cinética K=\dfrac{Q}{2\Delta}. As derivadas respectiva a \theta_1 e \theta_2 resultam, após aplicação da regra do quociente e usando \partial b/\partial\theta_1 = -m_2 l_1 l_2\sin(\theta_1-\theta_2) e \partial b/\partial\theta_2 = +m_2 l_1 l_2\sin(\theta_1-\theta_2), em:
    \frac{\partial K}{\partial\theta_1} = m_2 l_1 l_2 \sin(\theta_1-\theta_2) \!\left(\! -\frac{b\,Q}{\Delta^2} + \frac{p_1 p_2}{\Delta}\!\right),
\frac{\partial K}{\partial\theta_2} = m_2 l_1 l_2 \sin(\theta_1-\theta_2) \!\left(\! \frac{b\,Q}{\Delta^2} - \frac{p_1 p_2}{\Delta}\!\right).
(Se quiser, pode verificar cada termo seguindo \partial K/\partial\theta = \tfrac12\bigl[(\partial Q)\Delta - Q(\partial\Delta)\bigr]/\Delta^2 e substituindo \partial Q e \partial\Delta via \partial b.)
  • Finalmente, aplicando \dot p_i = -\partial H/\partial\theta_i = -(\partial K/\partial\theta_i + \partial V/\partial\theta_i) obtemos as derivadas temporais dos momentos:
    \dot p_1 = - (m_1+m_2) g l_1 \sin\theta_1 + m_2 l_1 l_2 \sin(\theta_1-\theta_2) \!\left(\! \frac{b\,Q}{\Delta^2} - \frac{p_1 p_2}{\Delta}\!\right),
\dot p_2 = - m_2 g l_2 \sin\theta_2 - m_2 l_1 l_2 \sin(\theta_1-\theta_2) \!\left(\! \frac{b\,Q}{\Delta^2} - \frac{p_1 p_2}{\Delta}\!\right).
  • Lembrete das definições usadas para clareza: a=(m_1+m_2)l_1^2,\quad b=m_2 l_1 l_2\cos(\theta_1-\theta_2),\quad c=m_2 l_2^2,\quad \Delta = ac-b^2,
Q = c p_1^2 + a p_2^2 - 2 b p_1 p_2.

Passo 11

Interpretação e verificação rápida (passo didático final).
  • As quatro equações canônicas encontradas formam um sistema de primeira ordem em (\theta_1,\theta_2,p_1,p_2). É disso que se trata o formalismo hamiltoniano: transformar as duas equações de segunda ordem (para \theta_1,\theta_2) numa forma canônica de primeiras ordens.
  • As equações para \dot\theta_i são simplesmente a inversa do sistema linear que define os momentos p_i.
  • As equações para \dot p_i contêm:
    • termos de força conservativa (provenientes de V), -(m_1+m_2)g l_1\sin\theta_1 e -m_2 g l_2\sin\theta_2;
    • termos não-lineares de acoplamento, que dependem de produtos quadráticos de p_i, via Q, e também de \sin(\theta_1-\theta_2). Esses termos codificam o acoplamento dinâmico entre as duas massas.
  • Consistência: se m_2\to0 (segunda massa nula) então b\to0, c\to0 e as equações reduzem-se às do pêndulo simples para (\theta_1,p_1).
Coragem — as contas são chatas, mas o padrão é sempre o mesmo: escrever T,V, calcular p_i, inverter, construir H, aplicar \dot\theta_i=\partial H/\partial p_i e \dot p_i=-\partial H/\partial\theta_i. Dá para levar isso pra prova se você seguir os mesmos passos com calma.

Resposta

\dot\theta_1 = \frac{c p_1 - b p_2}{\Delta},\qquad \dot\theta_2 = \frac{a p_2 - b p_1}{\Delta},
\dot p_1 = - (m_1+m_2) g l_1 \sin\theta_1 + m_2 l_1 l_2 \sin(\theta_1-\theta_2) \!\left(\! \frac{b\,Q}{\Delta^2} - \frac{p_1 p_2}{\Delta}\!\right),
\dot p_2 = - m_2 g l_2 \sin\theta_2 - m_2 l_1 l_2 \sin(\theta_1-\theta_2) \!\left(\! \frac{b\,Q}{\Delta^2} - \frac{p_1 p_2}{\Delta}\!\right),
onde
a=(m_1+m_2)l_1^2,\quad b=m_2 l_1 l_2\cos(\theta_1-\theta_2),\quad c=m_2 l_2^2,
\Delta = ac-b^2, \quad Q = c p_1^2 + a p_2^2 - 2 b p_1 p_2.

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