3.7 As seguintes medidas de pressão e temperatura foram tomadas por um balão meteorológico subindo através da atmosférica inferior:
101.4
100.8
100.2
99.6
99.0
98.4
97,8
97.2
96.6
96.0
95.4
12.0
11.1
10.5
10.2
10.1
10.0
10.3
10.8
11.6
12.2
12.1
Os valores iniciais (no topo da tabela) correspondem ao nível do solo. Usando a lei de gás ideal (
), calcule a massa específica do ar (em
) em função da altura e trace o gráfico correspondente.
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101.4 | 100.8 | 100.2 | 99.6 | 99.0 | 98.4 | 97,8 | 97.2 | 96.6 | 96.0 | 95.4 |
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12.0 | 11.1 | 10.5 | 10.2 | 10.1 | 10.0 | 10.3 | 10.8 | 11.6 | 12.2 | 12.1 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes números da tabela enviada).
Dados fornecidos (cada linha é uma leitura sucessiva do balão, com a primeira no nível do solo):
- Pressões
(em ): .
Ou seja, por exemplo a primeira pressão é. - Temperaturas
(em ): .
O enunciado pede:
- Calcular a massa específica do ar
(em ) em função da altura e traçar o gráfico correspondente.
Observação importante sobre alturas: a tabela não fornece as alturas absolutas correspondentes a cada leitura; apenas indica que as leituras vão aumentando em altitude (a primeira é o nível do solo). Portanto não é possível traçar \emph{o gráfico com a escala de altitude em metros} sem essas alturas. O que posso fazer é:
- calcular
para cada leitura (isto é, em função do número da leitura, que é uma medida monotônica da altura), e - indicar como traçar o gráfico.
Se você tiver as alturas (em metros) correspondentes a cada linha, basta substituir o eixo horizontal pelos valores de altura; se não, usa-se o índice de leitura como eixo horizontal para ver a variação com a subida.
Passo 2
A física e a fórmula que vamos usar (aulas rápidas e concretas).
- Lei dos gases ideais na forma que relaciona pressão, massa específica e temperatura:
onde:
-
é a pressão (em ), -
é a massa específica (densidade) em , -
é a constante específica do ar: (valor dado), -
é a temperatura absoluta em kelvin . -
Isolando
na equação, temos a fórmula prática que usaremos:
Explicando cada símbolo de novo: para calcular
divide-se a pressão
pela constante
multiplicada pela temperatura absoluta
.
- Conversão de temperatura: as temperaturas na tabela estão em graus Celsius. Para usar a fórmula, precisamos de kelvin:
Passo 3
Unidades e preparação dos números (muito atenção a unidades!).
- Vou converter cada pressão da forma apresentada (
que está em ) para pascal: por exemplo . - Vou converter cada temperatura para kelvin com
. - Depois aplico
usando .
Vou mostrar o cálculo detalhado para a primeira medição e depois listar os resultados das demais (para não alongar demais, mas mantendo passos suficientes para você copiar na prova).
Passo 4
Cálculo da primeira leitura (detalhado passo a passo).
- Dados da primeira linha (peguei da tabela):
e . - Converter temperatura:
- Calcular o denominador
:
- Aplicar a fórmula:
Interpretação: ao nível do solo, com
e
, a densidade calculada é aproximadamente
.
Passo 5
Cálculo das demais leituras (aplico a mesma rotina: converter
para Pa,
para K, depois
). Peguei todos os
e
da tabela enviada. Os resultados (cada linha corresponde à leitura sucessiva, da superfície para cima) foram calculados com quatro casas decimais significativas:
- Leitura 1:
. - Leitura 2:
. - Leitura 3:
. - Leitura 4:
. - Leitura 5:
. - Leitura 6:
. - Leitura 7:
. - Leitura 8:
. - Leitura 9:
. - Leitura 10:
. - Leitura 11:
.
Comentário didático: percebe-se que a densidade decresce quando subimos (pressão cai). A temperatura não varia muito aqui, então o efeito dominante é a queda de pressão; por isso
diminui de forma quase suave.
Passo 6
Como traçar o gráfico pedido (passo a passo simples, para fazer à mão ou no computador):
- Eixo vertical (ordenada):
em . - Eixo horizontal (abscissa): como não temos alturas em metros, use o número da leitura (1 para o nível do solo, 2 para a próxima leitura, etc.). Se você tiver as alturas
correspondentes a cada leitura, use no eixo horizontal em metros. - Pontos a plotar (x, y):
. - Ligue os pontos com uma curva suave (a variação é contínua e suave). Em software (Excel, Python/matplotlib, etc.) coloque as coordenadas acima e escolha linha com marcadores.
- Interpretação do gráfico: curva monotonicamente decrescente nas leituras fornecidas, representando a redução da massa específica com a altitude.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (como reproduzir isso rápido, sem calculadora complexa):
- Converta
para kelvin somando . - Use
. Se vier em multiplica por . - Faça um cálculo passo a passo para a primeira linha e repita para as demais; com prática, você pode calcular 3–4 linhas por minuto.
- Se pedirem o gráfico e não der tempo, desenhe rapidamente os pontos-chave (início, meio, fim) e a curva decrescente entre eles — isso costuma valer boa parte dos pontos.