3.7 As seguintes medidas de pressão e temperatura foram tomadas por um balão meteorológico subindo através da atmosférica inferior:
p\left(\mathrm{em} 10^{3} \mathrm{~Pa}\right) 101.4 100.8 100.2 99.6 99.0 98.4 97,8 97.2 96.6 96.0 95.4
T\left(\mathrm{em}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) 12.0 11.1 10.5 10.2 10.1 10.0 10.3 10.8 11.6 12.2 12.1
Os valores iniciais (no topo da tabela) correspondem ao nível do solo. Usando a lei de gás ideal ( p=\rho R T \operatorname{com} R=287 \mathrm{~m}^{2} /\left(S^{2} \cdot \mathrm{~K}\right) ), calcule a massa específica do ar (em \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ) em função da altura e trace o gráfico correspondente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes números da tabela enviada).
Dados fornecidos (cada linha é uma leitura sucessiva do balão, com a primeira no nível do solo):
  • Pressões p (em 10^{3}\\ \mathrm{Pa}): 101,4,\\\ 100,8,\\\ 100,2,\\\ 99,6,\\\ 99,0,\\\ 98,4,\\\ 97,8,\\\ 97,2,\\\ 96,6,\\\ 96,0,\\\ 95,4.
    Ou seja, por exemplo a primeira pressão é p=101,4\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperaturas T (em ^\circ\mathrm{C}): 12,0,\\\ 11,1,\\\ 10,5,\\\ 10,2,\\\ 10,1,\\\ 10,0,\\\ 10,3,\\\ 10,8,\\\ 11,6,\\\ 12,2,\\\ 12,1.
O enunciado pede:
  • Calcular a massa específica do ar \rho (em \mathrm{kg/m^{3}}) em função da altura e traçar o gráfico correspondente.
Observação importante sobre alturas: a tabela não fornece as alturas absolutas correspondentes a cada leitura; apenas indica que as leituras vão aumentando em altitude (a primeira é o nível do solo). Portanto não é possível traçar \emph{o gráfico com a escala de altitude em metros} sem essas alturas. O que posso fazer é:
  • calcular \rho para cada leitura (isto é, \rho em função do número da leitura, que é uma medida monotônica da altura), e
  • indicar como traçar o gráfico.
    Se você tiver as alturas (em metros) correspondentes a cada linha, basta substituir o eixo horizontal pelos valores de altura; se não, usa-se o índice de leitura como eixo horizontal para ver a variação com a subida.

Passo 2

A física e a fórmula que vamos usar (aulas rápidas e concretas).
  • Lei dos gases ideais na forma que relaciona pressão, massa específica e temperatura:
p=\rho R T
onde:
  • p é a pressão (em \mathrm{Pa}),
  • \rho é a massa específica (densidade) em \mathrm{kg/m^{3}},
  • R é a constante específica do ar: R=287\\ \mathrm{m^{2}/(s^{2}\cdot K)} (valor dado),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin \mathrm{K}.
  • Isolando \rho na equação, temos a fórmula prática que usaremos:
\rho=\dfrac{p}{R\,T}.
Explicando cada símbolo de novo: para calcular \rho divide-se a pressão p pela constante R multiplicada pela temperatura absoluta T.
  • Conversão de temperatura: as temperaturas na tabela estão em graus Celsius. Para usar a fórmula, precisamos de kelvin:
T\\ (\mathrm{K}) = T\\ (^\circ\mathrm{C}) + 273,15.

Passo 3

Unidades e preparação dos números (muito atenção a unidades!).
  • Vou converter cada pressão da forma apresentada ( 101,4 que está em 10^{3}\\ \mathrm{Pa}) para pascal: por exemplo p=101,4\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}=101400\\ \mathrm{Pa}.
  • Vou converter cada temperatura para kelvin com T_{K}=T_{^\circ\mathrm{C}}+273,15.
  • Depois aplico \rho=p/(R\,T) usando R=287.
Vou mostrar o cálculo detalhado para a primeira medição e depois listar os resultados das demais (para não alongar demais, mas mantendo passos suficientes para você copiar na prova).

Passo 4

Cálculo da primeira leitura (detalhado passo a passo).
  • Dados da primeira linha (peguei da tabela): p=101,4\times10^{3}\\ \mathrm{Pa} e T=12,0\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Converter temperatura:
T = 12,0 + 273,15 = 285,15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular o denominador R\,T:
R\,T = 287 \times 285,15 = 81838,05\\ \text{(unidades: }\mathrm{m^{2}/s^{2}}\cdot\mathrm{K}\cdot\mathrm{K}=\mathrm{m^{2}/s^{2}}\text{, que ao dividir por Pa dá }\mathrm{kg/m^{3}}\text{ corretamente).}á
  • Aplicar a fórmula:
\rho = \dfrac{p}{R\,T} = \dfrac{101400}{81838,05} \approx 1,2393\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Interpretação: ao nível do solo, com p=101,4\\ \text{kPa} e T=12^\circ\mathrm{C}, a densidade calculada é aproximadamente 1,2393\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 5

Cálculo das demais leituras (aplico a mesma rotina: converter p para Pa, T para K, depois \rho=p/(R\,T)). Peguei todos os p e T da tabela enviada. Os resultados (cada linha corresponde à leitura sucessiva, da superfície para cima) foram calculados com quatro casas decimais significativas:
  1. Leitura 1: p=101,4\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},\\ T=12,0\\ ^\circ\mathrm{C} \Rightarrow \rho \approx 1,2393\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  2. Leitura 2: p=100,8\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},\\ T=11,1\\ ^\circ\mathrm{C} \Rightarrow \rho \approx 1,2363\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  3. Leitura 3: p=100,2\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},\\ T=10,5\\ ^\circ\mathrm{C} \Rightarrow \rho \approx 1,2310\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  4. Leitura 4: p=99,6\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},\\ T=10,2\\ ^\circ\mathrm{C} \Rightarrow \rho \approx 1,2251\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  5. Leitura 5: p=99,0\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},\\ T=10,1\\ ^\circ\mathrm{C} \Rightarrow \rho \approx 1,2172\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  6. Leitura 6: p=98,4\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},\\ T=10,0\\ ^\circ\mathrm{C} \Rightarrow \rho \approx 1,2107\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  7. Leitura 7: p=97,8\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},\\ T=10,3\\ ^\circ\mathrm{C} \Rightarrow \rho \approx 1,2028\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  8. Leitura 8: p=97,2\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},\\ T=10,8\\ ^\circ\mathrm{C} \Rightarrow \rho \approx 1,1925\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  9. Leitura 9: p=96,6\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},\\ T=11,6\\ ^\circ\mathrm{C} \Rightarrow \rho \approx 1,1828\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  10. Leitura 10: p=96,0\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},\\ T=12,2\\ ^\circ\mathrm{C} \Rightarrow \rho \approx 1,1724\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  11. Leitura 11: p=95,4\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},\\ T=12,1\\ ^\circ\mathrm{C} \Rightarrow \rho \approx 1,1656\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Comentário didático: percebe-se que a densidade decresce quando subimos (pressão cai). A temperatura não varia muito aqui, então o efeito dominante é a queda de pressão; por isso \rho diminui de forma quase suave.

Passo 6

Como traçar o gráfico pedido (passo a passo simples, para fazer à mão ou no computador):
  • Eixo vertical (ordenada): \rho em \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Eixo horizontal (abscissa): como não temos alturas em metros, use o número da leitura (1 para o nível do solo, 2 para a próxima leitura, etc.). Se você tiver as alturas z correspondentes a cada leitura, use z no eixo horizontal em metros.
  • Pontos a plotar (x, y): (1,\,1,2393),\\ (2,\,1,2363),\\ (3,\,1,2310),\\ \ldots,\\ (11,\,1,1656).
  • Ligue os pontos com uma curva suave (a variação é contínua e suave). Em software (Excel, Python/matplotlib, etc.) coloque as coordenadas acima e escolha linha com marcadores.
  • Interpretação do gráfico: curva monotonicamente decrescente nas leituras fornecidas, representando a redução da massa específica com a altitude.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (como reproduzir isso rápido, sem calculadora complexa):
  • Converta T para kelvin somando 273,15.
  • Use \rho=p/(R\,T). Se p vier em 10^{3}\\ \mathrm{Pa} multiplica por 10^{3}.
  • Faça um cálculo passo a passo para a primeira linha e repita para as demais; com prática, você pode calcular 3–4 linhas por minuto.
  • Se pedirem o gráfico e não der tempo, desenhe rapidamente os pontos-chave (início, meio, fim) e a curva decrescente entre eles — isso costuma valer boa parte dos pontos.

Resposta

\rho_1=1,2393\\ \mathrm{kg/m^{3}}
\rho_2=1,2363\\ \mathrm{kg/m^{3}}
\rho_3=1,2310\\ \mathrm{kg/m^{3}}
\rho_4=1,2251\\ \mathrm{kg/m^{3}}
\rho_5=1,2172\\ \mathrm{kg/m^{3}}
\rho_6=1,2107\\ \mathrm{kg/m^{3}}
\rho_7=1,2028\\ \mathrm{kg/m^{3}}
\rho_8=1,1925\\ \mathrm{kg/m^{3}}
\rho_9=1,1828\\ \mathrm{kg/m^{3}}
\rho_{10}=1,1724\\ \mathrm{kg/m^{3}}
\rho_{11}=1,1656\\ \mathrm{kg/m^{3}}

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