Considere um domínio fluido incompressível semiinfinito de densidade igual a \rho, onde flutua livremente sem aceleração ( \mathrm{a}=0 ) e sem velocidade ( \mathrm{v}=0 ) um cilindro vertical fluido de raio r e altura h, cujo volume do cilindro é preenchido pelo mesmo fluido do domínio (densidade \rho ). Nessas condições e utilizando apenas as formulações a seguir, demonstre como obter a fórmula da pressão de um fluido em função da altura de coluna de água, P_{A}=P_{B}+\rho g h.
  1. \quad \rho=\frac{m}{V}; “Densidade é igual a massa por volume” ; \left[\frac{k g}{m^{3}}\right]
  2. P=m g; “Força peso gravitacional de uma massa qualquer é o produto de sua massa pela gravidade”; [N]
  3. p=\frac{F}{A}; “A razão entre a força aplicada em uma superfície pela sua área é igual a pressão”; \left[\frac{N}{m^{2}}\right]
  4. Volume de um cilindro =\left(\pi r^{2}\right) \times h; “Área da base do cilindro vezes a sua altura” [ m^{3} ]

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pedido: demonstrar a fórmula que relaciona a pressão no ponto inferior de uma coluna de fluido com a pressão no ponto superior, ou seja, obter a expressão
P_{A}=P_{B}+\rho g h.
Aqui P_{A} é a pressão no ponto de baixo da coluna (base do cilindro) e P_{B} é a pressão no ponto de cima da coluna (topo do cilindro). A altura da coluna é h.
  • Condições do problema (dados importantes):
    • O cilindro vertical tem raio r e altura h.
    • O cilindro está preenchido pelo mesmo fluido do domínio, de densidade \rho.
    • O fluido está em repouso e sem aceleração ( v=0, a=0) — ou seja, estático.
  • Fórmulas que podemos usar (fornecidas):
    1. \rho=\dfrac{m}{V} (densidade).
    2. F_g=m g (força peso da massa; note que aqui o dado 2 apresentou P=m g, mas trata-se da força peso; usarei F_g para indicar essa força).
    3. p=\dfrac{F}{A} (pressão = força dividida pela área).
    4. V=(\pi r^{2})\,h (volume do cilindro).
  • Objetivo do raciocínio: calcular a diferença de pressão entre base e topo causada apenas pelo peso da coluna de fluido acima da base; mostrar que essa diferença é \rho g h e então escrever P_A = P_B + \rho g h.

Passo 2

Encontrar a massa do fluido contido no cilindro usando densidade e volume.
  • A densidade relaciona massa e volume pela fórmula dada:
\rho=\dfrac{m}{V}.
  • Isolando a massa m temos:
m=\rho V.
  • Explicação: \rho é a quantidade de massa por unidade de volume; multiplicando \rho pelo volume V obtemos a massa total do fluido dentro do cilindro.
  • Unidades: \rho em \mathrm{kg/m^{3}}, V em \mathrm{m^{3}} m em \mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular o volume do cilindro e substituir para obter m em termos de \rho, r e h.
  • O volume do cilindro é dado por:
V=(\pi r^{2})\,h.
  • Substituindo em m=\rho V obtemos:
m=\rho\;(\pi r^{2})\,h.
  • Interpretação: a massa da coluna de fluido cresce proporcionalmente à área da base \pi r^{2} e à altura h.

Passo 4

Calcular a força peso do fluido contido no cilindro (a força que essa coluna exerce sobre a base).
  • Usando a fórmula do peso (força gravitacional) F_g=m g (dado 2), substituímos a massa encontrada:
F_g = m g = \bigl(\rho\;(\pi r^{2})\,h\bigr)\,g.
  • Simplificando a escrita:
F_g = \rho\,\pi r^{2}\,h\,g.
  • Interpretação: essa é a força vertical para baixo que a coluna de fluido exerce sobre a base do cilindro por causa da gravidade. Unidades: \mathrm{kg/m^{3}}\cdot \mathrm{m^{2}}\cdot \mathrm{m}\cdot \mathrm{m/s^{2}} = \mathrm{N}.

Passo 5

Converter a força peso em aumento de pressão sobre a base usando p=\dfrac{F}{A}.
  • A área da base do cilindro é A=\pi r^{2}.
  • A pressão adicional na base causada pelo peso da coluna é
\Delta p = \dfrac{F_g}{A}.
  • Substituindo F_g=\rho\,\pi r^{2}\,h\,g e A=\pi r^{2}:
\Delta p = \dfrac{\rho\,\pi r^{2}\,h\,g}{\pi r^{2}}.
  • Cancelando \pi r^{2} no numerador e denominador:
\Delta p = \rho\,g\,h.
  • Explicação: a pressão extra que se sente no fundo vem do peso do fluido presente acima; note que a área e o raio do cilindro desaparecem — a pressão depende só da altura h, da densidade \rho e da gravidade g.

Passo 6

Relacionar a pressão absoluta no fundo P_{A} com a pressão no topo P_{B}.
  • Em repouso e sem aceleração, a diferença de pressão entre a base e o topo da coluna é exatamente a pressão gerada pelo peso da coluna:
P_{A}-P_{B}=\Delta p.
  • Substituindo \Delta p=\rho g h obtemos a fórmula desejada:
P_{A}=P_{B}+\rho g h.
  • Interpretação física: a pressão aumenta com a profundidade; para cada metro de altura de fluido acima, a pressão aumenta em \rho g (em SI, aproximadamente 9{,}81\rho Pa por metro se g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).

Passo 7

Observações úteis para a prova (como aplicar o raciocínio de forma prática).
  • Nunca é preciso conhecer o raio r do recipiente para achar a diferença de pressão: o cancelamento de \pi r^{2} mostra que apenas a altura importa.
  • Em questões de prova, identifique claramente a coluna de fluido considerada (altura h), calcule massa via \rho V, peso via m g, e transforme em pressão dividindo por A.
  • Verifique unidades: \rho em \mathrm{kg/m^{3}}, g em \mathrm{m/s^{2}}, h em \mathrm{m} \rho g h em \mathrm{N/m^{2}}=\mathrm{Pa}.

Resposta

P_{A}=P_{B}+\rho g h

Exercícios relacionados