Considere um domínio fluido incompressível semiinfinito de densidade igual a
, onde flutua livremente sem aceleração (
) e sem velocidade (
) um cilindro vertical fluido de raio r e altura h, cujo volume do cilindro é preenchido pelo mesmo fluido do domínio (densidade
). Nessas condições e utilizando apenas as formulações a seguir, demonstre como obter a fórmula da pressão de um fluido em função da altura de coluna de água,
.
-
; “Densidade é igual a massa por volume” ;
-
; “Força peso gravitacional de uma massa qualquer é o produto de sua massa pela gravidade”; [N]
-
; “A razão entre a força aplicada em uma superfície pela sua área é igual a pressão”;
- Volume de um cilindro
; “Área da base do cilindro vezes a sua altura” [
]
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pedido: demonstrar a fórmula que relaciona a pressão no ponto inferior de uma coluna de fluido com a pressão no ponto superior, ou seja, obter a expressão
Aqui
é a pressão no ponto de baixo da coluna (base do cilindro) e
é a pressão no ponto de cima da coluna (topo do cilindro). A altura da coluna é
.
- Condições do problema (dados importantes):
- O cilindro vertical tem raio
e altura . - O cilindro está preenchido pelo mesmo fluido do domínio, de densidade
. - O fluido está em repouso e sem aceleração (
, ) — ou seja, estático.
- O cilindro vertical tem raio
- Fórmulas que podemos usar (fornecidas):
-
(densidade). -
(força peso da massa; note que aqui o dado 2 apresentou , mas trata-se da força peso; usarei para indicar essa força). -
(pressão = força dividida pela área). -
(volume do cilindro).
-
- Objetivo do raciocínio: calcular a diferença de pressão entre base e topo causada apenas pelo peso da coluna de fluido acima da base; mostrar que essa diferença é
e então escrever .
Passo 2
Encontrar a massa do fluido contido no cilindro usando densidade e volume.
- A densidade relaciona massa e volume pela fórmula dada:
- Isolando a massa
temos:
- Explicação:
é a quantidade de massa por unidade de volume; multiplicando pelo volume obtemos a massa total do fluido dentro do cilindro. - Unidades:
em , em → em .
Passo 3
Calcular o volume do cilindro e substituir para obter
em termos de
,
e
.
- O volume do cilindro é dado por:
- Substituindo em
obtemos:
- Interpretação: a massa da coluna de fluido cresce proporcionalmente à área da base
e à altura .
Passo 4
Calcular a força peso do fluido contido no cilindro (a força que essa coluna exerce sobre a base).
- Usando a fórmula do peso (força gravitacional)
(dado 2), substituímos a massa encontrada:
- Simplificando a escrita:
- Interpretação: essa é a força vertical para baixo que a coluna de fluido exerce sobre a base do cilindro por causa da gravidade. Unidades:
.
Passo 5
Converter a força peso em aumento de pressão sobre a base usando
.
- A área da base do cilindro é
. - A pressão adicional na base causada pelo peso da coluna é
- Substituindo
e :
- Cancelando
no numerador e denominador:
- Explicação: a pressão extra que se sente no fundo vem do peso do fluido presente acima; note que a área e o raio do cilindro desaparecem — a pressão depende só da altura
, da densidade e da gravidade .
Passo 6
Relacionar a pressão absoluta no fundo
com a pressão no topo
.
- Em repouso e sem aceleração, a diferença de pressão entre a base e o topo da coluna é exatamente a pressão gerada pelo peso da coluna:
- Substituindo
obtemos a fórmula desejada:
- Interpretação física: a pressão aumenta com a profundidade; para cada metro de altura de fluido acima, a pressão aumenta em
(em SI, aproximadamente Pa por metro se ).
Passo 7
Observações úteis para a prova (como aplicar o raciocínio de forma prática).
- Nunca é preciso conhecer o raio
do recipiente para achar a diferença de pressão: o cancelamento de mostra que apenas a altura importa. - Em questões de prova, identifique claramente a coluna de fluido considerada (altura
), calcule massa via , peso via , e transforme em pressão dividindo por . - Verifique unidades:
em , em , em → em .