Ao aplicar o Método de Gauss-Sejidel para resolver um sistema linear, após 6 iterações obteve-se \mathrm{x}_{1}= -0.2117 ; \mathrm{x}_{2}=0.7333 ; \mathrm{x}_{3}=-0.3601. Execute a iteração 7 e verifique se na sétima iteração o algoritmo convergiu para uma tolerância de 0.001 .
O enunciado dá um sistema linear e informa que, após 6 iterações do Método de Gauss–Seidel, os valores são \mathrm{x}_{1}^{(6)}=-0,2117\), \(\mathrm{x}_{2}^{(6)}=0,7333\) e \(\mathrm{x}_{3}^{(6)}=-0,3601\). Pede-se: executar a 7ª iteração e verificar se, na iteração 7, o algoritmo convergiu para uma tolerância de \(0,001\). Também é pedido testar o erro absoluto e o erro relativo. O sistema é
\[\begin{cases} 1,1557\,x_{1}+0,9340\,x_{2}+0,7431\,x_{3}=0,1712\\[4pt] 0,0357\,x_{1}+1,1787\,x_{2}+0,3922\,x_{3}=0,7060\\[4pt] 0,8491\,x_{1}+0,7577\,x_{2}+0,9555\,x_{3}=0,0318 \end{cases}
Informações relevantes listadas:
Valores na iteração 6: \mathrm{x}_{1}^{(6)}=-0,2117\], \(\mathrm{x}_{2}^{(6)}=0,7333, \mathrm{x}_{3}^{(6)}=-0,3601.
Tolerância exigida: 0,001.
Precisamos calcular a iteração 7 pelo método de Gauss–Seidel e calcular erro absoluto e erro relativo para decidir se converge com a tolerância dada.]
Passo 2
Breve aula rápida do método (pra você entender o passo a passo): no Gauss–Seidel isolamos cada variável nas equações e, na iteração k+1, calculamos x_1^{(k+1)} usando os valores mais recentes disponíveis; em seguida usamos x_1^{(k+1)} para calcular x_2^{(k+1)}, e assim por diante. Isso costuma acelerar a convergência em relação ao método de Jacobi. As fórmulas obtidas isolando cada incógnita são:
Erro relativo (norma infinito relativa, dividindo pelo maior valor absoluto do novo vetor):
maior componente em módulo de x^{(7)} é |x_{2}^{(7)}|\approx 0,725235. Então
Erro absoluto =0,008065>0,001 → não satisfaz a tolerância absoluta.
Erro relativo =0,01112>0,001 → não satisfaz a tolerância relativa.
Conclusão: na 7ª iteração o método ainda não convergiu para a tolerância 0,001. Forneci os cálculos passo a passo; continua sendo necessário iterar mais vezes até que o erro absoluto (ou relativo) fique abaixo de 0,001.