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Ao aplicar o Método de Gauss-Sejidel para resolver um sistema linear, após 6 iterações obteve-se \mathrm{x}_{1}= -0.2117 ; \mathrm{x}_{2}=0.7333 ; \mathrm{x}_{3}=-0.3601. Execute a iteração 7 e verifique se na sétima iteração o algoritmo convergiu para uma tolerância de 0.001 .
\left\{\begin{array}{c} 1.1557 x_{1}+0.9340 x_{2}+0.7431 x_{3}=0.1712 \\\\ 0.0357 x_{1}+1.1787 x_{2}+0.3922 x_{3}=0.7060 \\\\ 0.8491 x_{1}+0.7577 x_{2}+0.9555 x_{3}=0.0318 \end{array}\right.
Obs: Teste o erro relativo e o erro absoluto

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear e informa que, após 6 iterações do Método de Gauss–Seidel, os valores são \mathrm{x}_{1}^{(6)}=-0,2117\), \(\mathrm{x}_{2}^{(6)}=0,7333\) e \(\mathrm{x}_{3}^{(6)}=-0,3601\). Pede-se: executar a 7ª iteração e verificar se, na iteração 7, o algoritmo convergiu para uma tolerância de \(0,001\). Também é pedido testar o erro absoluto e o erro relativo. O sistema é \[\begin{cases} 1,1557\,x_{1}+0,9340\,x_{2}+0,7431\,x_{3}=0,1712\\[4pt] 0,0357\,x_{1}+1,1787\,x_{2}+0,3922\,x_{3}=0,7060\\[4pt] 0,8491\,x_{1}+0,7577\,x_{2}+0,9555\,x_{3}=0,0318 \end{cases}
Informações relevantes listadas:
  • Valores na iteração 6: \mathrm{x}_{1}^{(6)}=-0,2117\], \(\mathrm{x}_{2}^{(6)}=0,7333, \mathrm{x}_{3}^{(6)}=-0,3601.
  • Tolerância exigida: 0,001.
  • Precisamos calcular a iteração 7 pelo método de Gauss–Seidel e calcular erro absoluto e erro relativo para decidir se converge com a tolerância dada.]

Passo 2

Breve aula rápida do método (pra você entender o passo a passo): no Gauss–Seidel isolamos cada variável nas equações e, na iteração k+1, calculamos x_1^{(k+1)} usando os valores mais recentes disponíveis; em seguida usamos x_1^{(k+1)} para calcular x_2^{(k+1)}, e assim por diante. Isso costuma acelerar a convergência em relação ao método de Jacobi. As fórmulas obtidas isolando cada incógnita são:
isolar x_1 da primeira equação:
x_{1}=\frac{0,1712-0,9340\,x_{2}-0,7431\,x_{3}}{1,1557}
isolar x_2 da segunda:
x_{2}=\frac{0,7060-0,0357\,x_{1}-0,3922\,x_{3}}{1,1787}
isolar x_3 da terceira:
x_{3}=\frac{0,0318-0,8491\,x_{1}-0,7577\,x_{2}}{0,9555}
Explicação de erros que vamos usar:
  • Erro absoluto (critério prático usado aqui): norma infinito da diferença entre iterações consecutivas,
\text{erro absoluto} = \max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|.
  • Erro relativo (norma infinito relativa): erro absoluto dividido pela maior magnitude das componentes do novo vetor,
\text{erro relativo} = \frac{\max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|}{\max_{i}|x_i^{(k+1)}|}.
Se ambos forem menores que a tolerância pedida ( 0,001), consideramos convergência.

Passo 3

Vamos calcular \mathrm{x}_{1}^{(7)} usando a fórmula isolada para x_1 e os valores da iteração 6 para x_2 e x_3:
x_{1}^{(7)}=\frac{0,1712-0,9340\;x_{2}^{(6)}-0,7431\;x_{3}^{(6)}}{1,1557}.
Substituindo x_{2}^{(6)}=0,7333 e x_{3}^{(6)}=-0,3601:
calculemos os termos separadamente:
0,9340\cdot 0,7333=0,6849022,
0,7431\cdot(-0,3601)=-0,26759031.
Então o numerador fica
0,1712-0,6849022-(-0,26759031)=0,1712-0,6849022+0,26759031=-0,24611189.
Dividindo por 1,1557:
x_{1}^{(7)}=\frac{-0,24611189}{1,1557}\approx -0,21296.

Passo 4

Agora calculamos \mathrm{x}_{2}^{(7)} usando a fórmula de x_2. No Gauss–Seidel usamos o valor atualizado x_{1}^{(7)} e o x_{3}^{(6)}:
x_{2}^{(7)}=\frac{0,7060-0,0357\;x_{1}^{(7)}-0,3922\;x_{3}^{(6)}}{1,1787}.
Substituindo x_{1}^{(7)}\approx -0,21296 e x_{3}^{(6)}=-0,3601:
calculemos os produtos:
0,0357\cdot(-0,21296)\approx -0,007602672,
0,3922\cdot(-0,3601)\approx -0,14123122.
Numerador:
0,7060-(-0,007602672)-(-0,14123122)=0,7060+0,007602672+0,14123122=0,854833892.
Dividindo por 1,1787:
x_{2}^{(7)}=\frac{0,854833892}{1,1787}\approx 0,725235.

Passo 5

Agora calculamos \mathrm{x}_{3}^{(7)} usando x_{1}^{(7)} e x_{2}^{(7)} (ambos já atualizados nesta iteração):
x_{3}^{(7)}=\frac{0,0318-0,8491\;x_{1}^{(7)}-0,7577\;x_{2}^{(7)}}{0,9555}.
Substituindo x_{1}^{(7)}\approx -0,21296 e x_{2}^{(7)}\approx 0,725235:
produtos:
0,8491\cdot(-0,21296)\approx -0,18082434,
0,7577\cdot 0,725235\approx 0,549511055.
Numerador:
0,0318-(-0,18082434)-0,549511055=0,0318+0,18082434-0,549511055=-0,336886715.
Dividindo por 0,9555:
x_{3}^{(7)}=\frac{-0,336886715}{0,9555}\approx -0,35259.

Passo 6

Resumo dos resultados da 7ª iteração (arredondando para 5 casas significativas onde útil):
x_{1}^{(7)}\approx -0,21296,\qquad x_{2}^{(7)}\approx 0,725235,\qquad x_{3}^{(7)}\approx -0,35259.

Passo 7

Agora calculamos os erros — diferença entre iteração 7 e 6, componente a componente:
diferenças:
|x_{1}^{(7)}-x_{1}^{(6)}|=|-0,21296-(-0,2117)|=0,00126\\ (\text{aprox.}),
|x_{2}^{(7)}-x_{2}^{(6)}|=|0,725235-0,7333|=0,008065,
|x_{3}^{(7)}-x_{3}^{(6)}|=|-0,35259-(-0,3601)|=0,00751.
Erro absoluto (norma infinito das diferenças):
\text{erro absoluto}=\max\{0,00126,\,0,008065,\,0,00751\}=0,008065.
Erro relativo (norma infinito relativa, dividindo pelo maior valor absoluto do novo vetor):
maior componente em módulo de x^{(7)} é |x_{2}^{(7)}|\approx 0,725235. Então
\text{erro relativo}=\frac{0,008065}{0,725235}\approx 0,01112\\ (\text{ou }1{,}112\%).

Passo 8

Comparação com a tolerância 0,001:
  • Erro absoluto =0,008065>0,001 → não satisfaz a tolerância absoluta.
  • Erro relativo =0,01112>0,001 → não satisfaz a tolerância relativa.
Conclusão: na 7ª iteração o método ainda não convergiu para a tolerância 0,001. Forneci os cálculos passo a passo; continua sendo necessário iterar mais vezes até que o erro absoluto (ou relativo) fique abaixo de 0,001.

Resposta

x_{1}^{(7)}\approx -0,21296,\quad x_{2}^{(7)}\approx 0,725235,\quad x_{3}^{(7)}\approx -0,35259
\text{Erro absoluto (norma infinito)}\approx 0,008065
\text{Erro relativo (norma infinito)}\approx 0,01112
\text{Convergência para tolerância }0,001:\; \text{Não}êâã

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