(Equação do calor) Dada
verifique que a função
satisfaz a EDP
Passo 1
O enunciado dá a função
com
onde
. A pergunta é: verificar que a função dada satisfaz a EDP
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Primeira observação útil (Teorema fundamental do cálculo + regra da cadeia): se definimos
então, por definição do integral com limite superior variável,
Como
, pela regra da cadeia temos as derivadas parciais iniciais
e
Aqui e adiante uso a notação
e
.
Passo 3
Agora precisamos de
. Diferenciando
em relação a
(produto + regra da cadeia) obtemos
A derivada de
em relação a
é (regra da cadeia)
Substituindo volta:
Passo 4
Então a equação
reduz-se, dividindo ambos os lados por
(sempre positivo), a verificar a identidade
Ou seja, precisamos calcular
,
e
para o
dado e checar essa igualdade.
Passo 5
Calculemos
. Como
tratando
fixo ao derivar em relação a
obtemos
Note que
não depende de
, logo a segunda derivada em
é
Passo 6
Calculemos
. A forma
permite usar a regra do poder para derivar em
:
Multiplicando por
obtemos
Podemos simplificar essa expressão usando
para deixar mais claro: como
temos
(A demonstração rápida: derivando
dá
, o fator restante reconstrói
.)
Passo 7
Agora substituímos
,
(porque
) e
na identidade a verificar:
À direita tínhamos
. Portanto
Passo 8
Voltando à fórmula para as derivadas de
, lembramos que com isso mostramos
ou seja
Assim a EDP pedida é satisfeita pela função
.
Resposta
A função
com
satisfaz a equação
.