(Equação do calor) Dada c>0 verifique que a função
f(x, t)=\int_{0}^{g(x, t)} e^{-s^{2}} \mathrm{~d} s, \quad \text { com } \quad g(x, t)=\frac{1}{2} \frac{x}{\sqrt{c t}}
satisfaz a EDP
c \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial f}{\partial t}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,t)=\int_{0}^{g(x,t)} e^{-s^{2}}\,\mathrm{d}s
com
g(x,t)=\frac{1}{2}\frac{x}{\sqrt{c t}},
onde c>0. A pergunta é: verificar que a função dada satisfaz a EDP
c\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial f}{\partial t}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) }f(x,t)=\int_{0}^{g(x,t)} e^{-s^{2}}\,\mathrm{d}s,\qquad \text{(ii) }g(x,t)=\frac{x}{2\sqrt{c t}},\qquad c>0.

Passo 2

Primeira observação útil (Teorema fundamental do cálculo + regra da cadeia): se definimos
F(u)=\int_{0}^{u} e^{-s^{2}}\,\mathrm{d}s,
então, por definição do integral com limite superior variável,
F'(u)=e^{-u^{2}}.
Como f(x,t)=F\big(g(x,t)\big), pela regra da cadeia temos as derivadas parciais iniciais
\frac{\partial f}{\partial x}=F'\big(g(x,t)\big)\frac{\partial g}{\partial x}=e^{-g^{2}}\,g_{x}
e
\frac{\partial f}{\partial t}=F'\big(g(x,t)\big)\frac{\partial g}{\partial t}=e^{-g^{2}}\,g_{t}.
Aqui e adiante uso a notação g_{x}=\partial g/\partial x e g_{t}=\partial g/\partial t.

Passo 3

Agora precisamos de \partial^{2}f/\partial x^{2}. Diferenciando \partial f/\partial x=e^{-g^{2}}g_{x} em relação a x (produto + regra da cadeia) obtemos
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-g^{2}}g_{x}\big) = e^{-g^{2}} g_{xx} + \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-g^{2}}\big)\,g_{x}.
A derivada de e^{-g^{2}} em relação a x é (regra da cadeia)
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-g^{2}}\big) = e^{-g^{2}}\cdot(-2g)\,g_{x} = -2g\,e^{-g^{2}}\,g_{x}.
Substituindo volta:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = e^{-g^{2}} g_{xx} - 2g\,e^{-g^{2}} (g_{x})^{2}.

Passo 4

Então a equação c\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial f}{\partial t} reduz-se, dividindo ambos os lados por e^{-g^{2}} (sempre positivo), a verificar a identidade
c\big(g_{xx}-2g (g_{x})^{2}\big)=g_{t}.
Ou seja, precisamos calcular g_{x}, g_{xx} e g_{t} para o g dado e checar essa igualdade.

Passo 5

Calculemos g_{x}. Como
g(x,t)=\frac{x}{2\sqrt{c t}}=\frac{1}{2}(c t)^{-1/2}x,
tratando t fixo ao derivar em relação a x obtemos
g_{x}=\frac{1}{2}(c t)^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{c t}}.
Note que g_{x} não depende de x, logo a segunda derivada em x é
g_{xx}=0.

Passo 6

Calculemos g_{t}. A forma g(x,t)=\dfrac{x}{2}\,(c t)^{-1/2} permite usar a regra do poder para derivar em t:
\frac{\partial}{\partial t}(c t)^{-1/2}=(-\tfrac{1}{2})(c t)^{-3/2}\cdot c.
Multiplicando por x/2 obtemos
g_{t}=\frac{x}{2}\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)c(c t)^{-3/2}=-\frac{x}{4}\,c\,(c t)^{-3/2}.
Podemos simplificar essa expressão usando g para deixar mais claro: como
g=\frac{x}{2\sqrt{c t}}=\frac{x}{2}\,(c t)^{-1/2},
temos
g_{t}=-\frac{1}{2}\,g\cdot\frac{1}{t}=-\frac{g}{2t}.
(A demonstração rápida: derivando t^{-1/2} -\tfrac{1}{2}t^{-3/2}, o fator restante reconstrói -\tfrac{g}{2t}.)

Passo 7

Agora substituímos g_{xx}=0, (g_{x})^{2}=\dfrac{1}{4 c t} (porque g_{x}=1/(2\sqrt{c t})) e g_{t}=-\dfrac{g}{2t} na identidade a verificar:
c\big(g_{xx}-2g (g_{x})^{2}\big) = c\Big(0 - 2g\cdot\frac{1}{4 c t}\Big) = c\Big(-\frac{2g}{4 c t}\Big) = -\frac{g}{2t}.
À direita tínhamos g_{t}=-\dfrac{g}{2t}. Portanto
c\big(g_{xx}-2g (g_{x})^{2}\big)=g_{t}.

Passo 8

Voltando à fórmula para as derivadas de f, lembramos que com isso mostramos
c\big(e^{-g^{2}} g_{xx} - 2g\,e^{-g^{2}}(g_{x})^{2}\big)=e^{-g^{2}}g_{t},
ou seja
c\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial f}{\partial t}.
Assim a EDP pedida é satisfeita pela função f.

Resposta

A função f(x,t)=\displaystyle\int_{0}^{g(x,t)} e^{-s^{2}}\,\mathrm{d}s com g(x,t)=\dfrac{x}{2\sqrt{c t}} satisfaz a equação c\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}.

Exercícios relacionados