( \mathbf{2 , 0} pontos) Usando o método de eliminação de Gauss resolva o sistema linear a seguir. (querendo resolver por escalonamento - resolva, porém, vai ganhar um ponto somente)
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=9 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=23 \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2}-4 x_{3}=11 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede para encontrarmos os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3}:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=9 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=23 \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2}-4 x_{3}=11 \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
\;1.: Existem três equações e três incógnitas: x_{1},x_{2},x_{3}.
\;2.: Devemos usar o método de eliminação de Gauss (escalonamento) para resolver o sistema.
\;3.: Todas as constantes e coeficientes estão explícitos nas equações acima.

Passo 2

Vamos transformar o sistema em uma matriz aumentada para aplicar operações elementares nas linhas (essas operações preservam o conjunto de soluções):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 9\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 23\\[4pt] 3 & 2 & -4 & 11 \end{array}\right]
Explicação curta das operações que usaremos:
  • Trocar duas linhas.
  • Multiplicar uma linha por um número não nulo.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Essas operações não mudam as soluções do sistema; servem para zerar coeficientes abaixo dos pivôs e obter uma matriz triangular superior.]

Passo 3

Começamos usando 1 (elemento (1,1)) como primeiro pivô. Zeramos os elementos abaixo na coluna 1:
Fazer R_{2} \leftarrow R_{2} - 2R_{1} e R_{3} \leftarrow R_{3} - 3R_{1}.
Cálculo de R_{2}-2R_{1}:
R_{2}-2R_{1} = [\,2-2\cdot1,\;3-2\cdot2,\;1-2\cdot(-2)\;|\;23-2\cdot9\,] = [\,0,\,-1,\,5\;|\;5\,]
Cálculo de R_{3}-3R_{1}:
R_{3}-3R_{1} = [\,3-3\cdot1,\;2-3\cdot2,\;-4-3\cdot(-2)\;|\;11-3\cdot9\,] = [\,0,\,-4,\,2\;|\;-16\,]
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 9\\[4pt] 0 & -1 & 5 & 5\\[4pt] 0 & -4 & 2 & -16 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora lidamos com a segunda coluna. Para simplificar, vamos tornar o pivô da segunda linha igual a 1. Multiplicamos a segunda linha por -1:
R_{2} \leftarrow -1\cdot R_{2} \quad\Rightarrow\quad R_{2} = [\,0,\;1,\;-5\;|\;-5\,]
Matriz atual:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 9\\[4pt] 0 & 1 & -5 & -5\\[4pt] 0 & -4 & 2 & -16 \end{array}\right]]

Passo 5

Com o pivô 1 em posição (2,2), eliminamos o elemento abaixo dele: R_{3} \leftarrow R_{3} + 4R_{2}.
Cálculo de R_{3}+4R_{2}:
R_{3}+4R_{2} = [\,0+4\cdot0,\;-4+4\cdot1,\;2+4\cdot(-5)\;|\;-16+4\cdot(-5)\,] = [\,0,\;0,\;-18\;|\;-36\,]
Matriz triangular superior obtida:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 9\\[4pt] 0 & 1 & -5 & -5\\[4pt] 0 & 0 & -18 & -36 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora interpretamos a última linha como uma equação para x_{3}. A terceira linha corresponde a:
-18\,x_{3} = -36.
Explicando: isso vem do fato de que os coeficientes das colunas 1 e 2 são zero nessa linha, sobrando apenas o coeficiente de x_{3} e o termo independente.
Resolvendo:
x_{3} = \frac{-36}{-18} = 2.

Passo 7

Substituímos x_{3}=2 na segunda linha para achar x_{2}. A segunda linha diz:
1\cdot x_{2} -5\cdot x_{3} = -5.
Substituindo x_{3}=2:
x_{2} -5\cdot 2 = -5 \quad\Rightarrow\quad x_{2} -10 = -5 \quad\Rightarrow\quad x_{2} = 5.

Passo 8

Por fim, substituímos x_{2}=5 e x_{3}=2 na primeira equação para achar x_{1}. A primeira linha dá:
x_{1} + 2x_{2} -2x_{3} = 9.
Substituindo:
x_{1} + 2\cdot 5 -2\cdot 2 = 9 \quad\Rightarrow\quad x_{1} +10 -4 = 9 \quad\Rightarrow\quad x_{1} +6 = 9 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = 3.

Passo 9

Verificação rápida (opcional mas instrutiva): substituindo (x_{1},x_{2},x_{3})=(3,5,2) nas três equações originais:
Primeira: 3 + 2\cdot5 -2\cdot2 = 3+10-4=9
Segunda: 2\cdot3 + 3\cdot5 + 1\cdot2 = 6+15+2=23
Terceira: 3\cdot3 + 2\cdot5 -4\cdot2 = 9+10-8=11
Tudo confere, solução correta.

Resposta

x_{1}=3
x_{2}=5
x_{3}=2

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