Aplicar o método
Simpson com
subintervalos para calcular o valor aproximado da integral. Calcular o limitante do erro.
Passo 1
O enunciado pede que eu aplique a regra composta de Simpson
com
subintervalos para aproximar a integral
e que eu calcule um limitante (uma majorante) para o erro dessa aproximação.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Intervalo de integração:
. - Número de subintervalos:
(note que é múltiplo de , portanto a regra composta é aplicável). - A função a integrar é
.
Passo 2
Breve explicação do método (aulas rápidas para a prova): a regra de Simpson
aproxima a integral em blocos de
subintervalos (ou seja, usa
pontos por bloco). Na forma composta, com
múltiplo de
, a fórmula é
onde
e
. A ideia prática: pesos
nas extremidades, pesos
para índices interiores que não são múltiplos de
, e pesos
para índices múltiplos de
(exceto as extremidades).
O limitante do erro para a regra composta
é
Vou usar essa expressão, portanto preciso de
e de uma cota para
no intervalo.
Passo 3
Calculo de
e dos nós:
Os nós são
para
. Isso dá, simplificando em termos de
:
Observação útil: a função
é par (pois
), então
. Posso aproveitar simetria para reduzir cálculos.
Passo 4
Avaliação da função nos nós (vou mostrar como se calcula cada valor e dar aproximações numéricas com 6 casas significativas, suficientes para a prova):
-
. Sabemos . Logo
-
. Então . -
correspondem a . , então . Logo
-
correspondem a . , então . Logo
Resumo dos valores usados (arredondados):
Passo 5
Aplicação da fórmula composta
. Primeiro calcule o somatório com os pesos:
- Soma das extremidades:
. - Índices com
e são . Soma (simetria) . - Índices com
no interior: . Soma , com peso na fórmula dá .
Agora aplicar a fórmula:
Como observado antes,
. Portanto
Calculemos o conteúdo do colchete:
Multiplicando:
Assim a aproximação (com arredondamento razoável) é
Passo 6
Agora cálculo do limitante do erro. Como dito, para a regra composta
com passo
temos
Vou obter uma expressão para
e uma cota conveniente em
.
Passo 7
Derivadas de
(desenvolvimento didático e compacto):
-
- Uma conta direta (produtos e regras) leva a
Seguindo as derivações e simplificando, chego a uma expressão para a quarta derivada da forma
É conveniente reescrever essa expressão em função de
, usando
. Fazendo isso obtemos (após simplificação)
onde
.
Passo 8
Cálculo da cota
. No intervalo
temos
, logo
Portanto basta maximizar
para
e multiplicar por
que ocorre em
, então
.
Avalio
nos extremos:
Analisando
nota-se que
é crescente em
, portanto o valor absoluto máximo de
no intervalo é
. Assim uma cota válida é
Passo 9
Agora aplico a fórmula do erro com os números:
Portanto
Avaliação numérica (arredondando o resultado final do limite):