Aplicar o método 3 / 8 Simpson com \mathrm{n}=6 subintervalos para calcular o valor aproximado da integral. Calcular o limitante do erro.
\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} e^{\operatorname{sen}^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu aplique a regra composta de Simpson 3/8 com n=6 subintervalos para aproximar a integral
\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} e^{\operatorname{sen}^{2}x}\,dx
e que eu calcule um limitante (uma majorante) para o erro dessa aproximação.
Informações relevantes dadas:
  • Intervalo de integração: \left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right].
  • Número de subintervalos: n=6 (note que 6 é múltiplo de 3, portanto a regra composta 3/8 é aplicável).
  • A função a integrar é f(x)=e^{\operatorname{sen}^{2}x}.

Passo 2

Breve explicação do método (aulas rápidas para a prova): a regra de Simpson 3/8 aproxima a integral em blocos de 3 subintervalos (ou seja, usa 4 pontos por bloco). Na forma composta, com n múltiplo de 3, a fórmula é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\Big[f(x_0)+f(x_n)+3\sum_{\substack{1\le i\le n-1\\\ i\not\equiv 0\pmod 3}} f(x_i)+2\sum_{\substack{1\le i\le n-1\\\ i\equiv 0\pmod 3}} f(x_i)\Big],
onde h=\dfrac{b-a}{n} e x_i=a+ih. A ideia prática: pesos 1 nas extremidades, pesos 3 para índices interiores que não são múltiplos de 3, e pesos 2 para índices múltiplos de 3 (exceto as extremidades).
O limitante do erro para a regra composta 3/8 é
|E|\le \frac{b-a}{80}\,h^{4}\,\max_{x\in[a,b]} |f^{(4)}(x)|.
Vou usar essa expressão, portanto preciso de h e de uma cota para |f^{(4)}(x)| no intervalo.

Passo 3

Calculo de h e dos nós:
a=-\frac{\pi}{6},\qquad b=\frac{\pi}{6},\qquad n=6.
h=\frac{b-a}{n}=\frac{\frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{6}=\frac{\pi/3}{6}=\frac{\pi}{18}.
Os nós são x_k=a+k h para k=0,\dots,6. Isso dá, simplificando em termos de \pi:
x_0=-\frac{\pi}{6},\; x_1=-\frac{\pi}{9},\; x_2=-\frac{\pi}{18},\; x_3=0,\; x_4=\frac{\pi}{18},\; x_5=\frac{\pi}{9},\; x_6=\frac{\pi}{6}.
Observação útil: a função f(x)=e^{\operatorname{sen}^{2}x} é par (pois \operatorname{sen}^{2}(-x)=\operatorname{sen}^{2}x), então f(x_k)=f(-x_k). Posso aproveitar simetria para reduzir cálculos.

Passo 4

Avaliação da função nos nós (vou mostrar como se calcula cada valor e dar aproximações numéricas com 6 casas significativas, suficientes para a prova):
  • x_0=x_6=\pm\frac{\pi}{6}. Sabemos \operatorname{sen}\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\Rightarrow \operatorname{sen}^{2}\frac{\pi}{6}=\frac{1}{4}. Logo
f(x_0)=f(x_6)=e^{1/4}\approx 1{,}284025.
  • x_3=0. Então \operatorname{sen} 0=0\Rightarrow f(x_3)=e^{0}=1.
  • x_2=\pm\frac{\pi}{18} correspondem a \pm 10^\circ. \operatorname{sen}\frac{\pi}{18}\approx 0{,}1736481777, então \operatorname{sen}^{2}\frac{\pi}{18}\approx 0{,}0301536896. Logo
f(x_2)=f(x_4)=e^{0{,}0301536896}\approx 1{,}030613.
  • x_1=\pm\frac{\pi}{9} correspondem a \pm 20^\circ. \operatorname{sen}\frac{\pi}{9}\approx 0{,}3420201433, então \operatorname{sen}^{2}\frac{\pi}{9}\approx 0{,}1169777784. Logo
f(x_1)=f(x_5)=e^{0{,}1169777784}\approx 1{,}124040.
Resumo dos valores usados (arredondados):
\begin{aligned} f(x_0)&=f(x_6)\approx 1{,}284025,\\\ f(x_1)&=f(x_5)\approx 1{,}124040,\\\ f(x_2)&=f(x_4)\approx 1{,}030613,\\\ f(x_3)&=1. \end{aligned}

Passo 5

Aplicação da fórmula composta 3/8. Primeiro calcule o somatório com os pesos:
  • Soma das extremidades: f(x_0)+f(x_6)=2\cdot 1{,}284025=2{,}568050.
  • Índices com i\not\equiv 0\pmod 3 e 1\le i\le 5 são i=1,2,4,5. Soma f(x_1)+f(x_2)+f(x_4)+f(x_5)=2f(x_1)+2f(x_2) (simetria) =2\cdot1{,}124040+2\cdot1{,}030613=2{,}248080+2{,}061226=4{,}309306.
  • Índices com i\equiv 0\pmod 3 no interior: i=3. Soma =f(x_3)=1, com peso 2 na fórmula dá 2\cdot 1=2.
Agora aplicar a fórmula:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\Big[\,f(x_0)+f(x_6)+3\cdot 4{,}309306 + 2\cdot 1\,\Big].
Como observado antes, \frac{3h}{8}=\frac{3(\pi/18)}{8}=\frac{\pi}{48}. Portanto
\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} e^{\operatorname{sen}^{2}x}\,dx \approx \frac{\pi}{48}\Big[2{,}568050 + 3\cdot 4{,}309306 + 2\Big].
Calculemos o conteúdo do colchete:
2{,}568050 + 3\cdot 4{,}309306 + 2 = 2{,}568050 + 12{,}927918 + 2 = 17{,}495968.
Multiplicando:
\frac{\pi}{48}\cdot 17{,}495968 \approx 0{,}06544984695\cdot 17{,}495968 \approx 1{,}1451085.
Assim a aproximação (com arredondamento razoável) é
\boxed{\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} e^{\operatorname{sen}^{2}x}\,dx \approx 1{,}14511.}

Passo 6

Agora cálculo do limitante do erro. Como dito, para a regra composta 3/8 com passo h temos
|E|\le \frac{b-a}{80}\,h^{4}\,\max_{x\in[a,b]} |f^{(4)}(x)|.
Vou obter uma expressão para f^{(4)} e uma cota conveniente em \left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right].

Passo 7

Derivadas de f(x)=e^{\operatorname{sen}^{2}x} (desenvolvimento didático e compacto):
  • f'(x)=e^{\operatorname{sen}^{2}x}\cdot 2\operatorname{sen} x\cos x = e^{\operatorname{sen}^{2}x}\sin 2x.
  • Uma conta direta (produtos e regras) leva a
f''(x)=e^{\operatorname{sen}^{2}x}\big(2\cos 2x+\sin^{2}2x\big).
Seguindo as derivações e simplificando, chego a uma expressão para a quarta derivada da forma
f^{(4)}(x)=e^{\operatorname{sen}^{2}x}\,\big(12\cos^{2}2x+12\cos2x\sin^{2}2x-8\cos2x+\sin^{4}2x-16\sin^{2}2x\big).
É conveniente reescrever essa expressão em função de A=\cos2x, usando \sin^{2}2x=1-A^{2}. Fazendo isso obtemos (após simplificação)
f^{(4)}(x)=e^{\operatorname{sen}^{2}x}\,p(A),\qquad p(A)=A^{4}-12A^{3}+26A^{2}+4A-15,
onde A=\cos2x.

Passo 8

Cálculo da cota \max_{x\in[a,b]}|f^{(4)}(x)|. No intervalo x\in\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right] temos 2x\in\left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right], logo
A=\cos2x\in\left[\frac{1}{2},1\right].
Portanto basta maximizar |p(A)| para A\in[1/2,1] e multiplicar por \max e^{\operatorname{sen}^{2}x} que ocorre em |\operatorname{sen} x| \le 1/2\Rightarrow \operatorname{sen}^{2}x\le 1/4, então \max e^{\operatorname{sen}^{2}x}=e^{1/4}.
Avalio p nos extremos:
p(1)=1-12+26+4-15=4,\qquad p\big(\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{1}{16}-\tfrac{12}{8}+\tfrac{26}{4}+2-15=-7{,}9375=-\frac{127}{16}.
Analisando p'(A) nota-se que p é crescente em [1/2,1], portanto o valor absoluto máximo de p no intervalo é |p(1/2)|=\tfrac{127}{16}. Assim uma cota válida é
\max_{x\in[a,b]} |f^{(4)}(x)| \le e^{1/4}\cdot \frac{127}{16}.

Passo 9

Agora aplico a fórmula do erro com os números:
b-a=\frac{\pi}{3},\qquad h=\frac{\pi}{18},\qquad h^{4}=\frac{\pi^{4}}{18^{4}}=\frac{\pi^{4}}{104976}.
Portanto
|E|\le \frac{b-a}{80}h^{4}\max|f^{(4)}|\le \frac{\pi/3}{80}\cdot\frac{\pi^{4}}{104976}\cdot\left(e^{1/4}\frac{127}{16}\right) =\frac{\pi^{5}}{25\,194\,240}\,e^{1/4}\frac{127}{16}.
Avaliação numérica (arredondando o resultado final do limite):
|E|\lesssim 1{,}24\times 10^{-4}.

Resposta

\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} e^{\operatorname{sen}^{2}x}\,dx \approx 1{,}14511.
|E|\le 1{,}24\times 10^{-4}.

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