Dada a funçao y=f(x) definida através da tabela:
x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
\mathrm{f}(\mathrm{x}) 0.099 0.131 0.163 0.194 0.224 0.253 0.281
Calcular: \int_{1.0}^{1.6} f(x) d x aplicando:
regra dos Trapézios.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \int_{1,0}^{1,6} f(x)\,dx usando a regra dos Trapézios, com f(x) dada pela tabela.
Informações fornecidas (peguei os valores diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccccc} x & 1,0 & 1,1 & 1,2 & 1,3 & 1,4 & 1,5 & 1,6\\hline f(x) & 0,099 & 0,131 & 0,163 & 0,194 & 0,224 & 0,253 & 0,281 \end{array}
O intervalo de integração é de a=1,0 até b=1,6. Os pontos são igualmente espaçados (passo constante).

Passo 2

O que é a regra composta dos Trapézios e por que usá-la aqui.
A ideia: aproximamos a área sob a curva por áreas de trapézios entre pares de pontos consecutivos (x_{i},f(x_{i})) e (x_{i+1},f(x_{i+1})). Se os nós são equiespaçados com passo h e há n subintervalos, a fórmula composta é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\Big(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)+f(x_n)\Big).
Explicando as variáveis: a e b são os limites, n é o número de subintervalos (quantas fatias), h é o comprimento de cada subintervalo dado por h=(b-a)/n, x_0=a e x_n=b. Essa fórmula vem de somar as áreas de cada trapézio cujo área é \tfrac{h}{2}(f(x_i)+f(x_{i+1})).

Passo 3

Determinar n e h.
Temos pontos de 1,0 a 1,6 com passo 0,1 (veja a tabela): x_0=1,0, x_1=1,1, …, x_6=1,6. Logo há n=6 subintervalos.
Calcule h:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{1,6-1,0}{6}=\frac{0,6}{6}=0,1.

Passo 4

Listar os valores e calcular a soma dos pontos interiores. (Novamente: valores tirados da tabela.)
Os extremos são f(x_0)=f(1,0)=0,099 e f(x_6)=f(1,6)=0,281.
Os valores interiores são
f(1,1)=0,131,\quad f(1,2)=0,163,\quad f(1,3)=0,194,\quad f(1,4)=0,224,\quad f(1,5)=0,253.
Somando-os passo a passo:
0,131+0,163=0,294,
0,294+0,194=0,488,
0,488+0,224=0,712,
0,712+0,253=0,965.
Logo
\sum_{i=1}^{5} f(x_i)=0,965.

Passo 5

Aplicar a fórmula composta dos Trapézios substituindo os números e calcular cuidadosamente cada etapa.
A fórmula é
\int_{1,0}^{1,6} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\Big(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{5} f(x_i)+f(x_6)\Big).
Substituindo h=0,1, f(x_0)=0,099, \sum_{i=1}^{5} f(x_i)=0,965 e f(x_6)=0,281:
\int_{1,0}^{1,6} f(x)\,dx \approx \frac{0,1}{2}\Big(0,099+2\cdot 0,965+0,281\Big).
Calcule o interior:
2\cdot 0,965=1,930,
0,099+1,930+0,281=2,310.
Agora multiplique por \tfrac{0,1}{2}=0,05:
0,05\cdot 2,310 = 0,1155.

Passo 6

Interpretação e arredondamento. O valor obtido é a aproximação pelo método dos trapézios com passo h=0,1. Podemos reportar com 4 casas decimais como comumente se faz em integração numérica: 0,1155. Parabéns — fizemos tudo sem calculadora pesada, apenas somas e multiplicações simples.

Resposta

0,1155

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