Calcular a aproximação da integral de uma função, usando 1 / 3 Simpson, cujos pontos conhecidos são:
x 1,9 2 2,1 2,2 2,3
\mathrm{f}(\mathrm{x}) 3,41773 3,76220 4,14431 4,56791 5,03722

Passo 1

O enunciado pede aproximar a integral de uma função usando a regra de Simpson 1/3 composta, dado um conjunto de pontos conhecidos. Os dados fornecidos são os pares (x,f(x)):
\begin{array}{llllll} x & 1,9 & 2,0 & 2,1 & 2,2 & 2,3\\hline f(x) & 3,41773 & 3,76220 & 4,14431 & 4,56791 & 5,03722 \end{array}
Pergunta: calcular a aproximação de \displaystyle\int_{1,9}^{2,3} f(x)\,dx usando a regra de Simpson 1/3 (composta) com esses pontos.
Informações relevantes e explícitas do enunciado:
  • Os nós são igualmente espaçados: x_0=1,9, x_1=2,0, x_2=2,1, x_3=2,2, x_4=2,3.
  • Os valores de f correspondentes são f_0=3,41773, f_1=3,76220, f_2=4,14431, f_3=4,56791, f_4=5,03722.
  • Temos n=4 subintervalos (porque existem 5 pontos), que é um número par, portanto a aplicação da regra de Simpson composta é adequada.

Passo 2

Apresentação didática da regra de Simpson 1/3 composta (o que é e por que usar aqui).
Fórmula da regra de Simpson composta: se dividimos [a,b] em n subintervalos iguais com n par e h=\dfrac{b-a}{n}, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left(f_0 + f_n + 4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f_i + 2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f_i \right).í
O que cada símbolo significa:
  • a e b são os limites da integral (aqui a=1,9, b=2,3).
  • n é o número de subintervalos (aqui n=4).
  • h é a largura de cada subintervalo: h=(b-a)/n.
  • f_i é o valor da função no nó x_i: f_i=f(x_i).
  • As somas separadas por coeficientes 4 e 2 alternam: coeficiente 4 para índices ímpares internos, coeficiente 2 para índices pares internos.
Por que exige n par? Porque cada aplicação elementar de Simpson usa três nós (dois subintervalos). Com n par podemos cobrir o intervalo inteiro por blocos de Simpson.

Passo 3

Aplicando os dados ao problema: calcular h e identificar índices.
Os limites são a=1,9 e b=2,3. O número de subintervalos é n=4. Então
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2,3-1,9}{4}=\frac{0,4}{4}=0,1.
Portanto h=0,1. Os valores f_i extraídos da tabela são:
f_0=3,41773,\quad f_1=3,76220,\quad f_2=4,14431,\quad f_3=4,56791,\quad f_4=5,03722.
(Estou usando exatamente os valores dados na tabela do enunciado.)

Passo 4

Calcular as somas necessárias da fórmula de Simpson composta:
  • Soma dos extremos:
f_0+f_4 = 3,41773 + 5,03722 = 8,45495.
  • Soma dos f_i com índice ímpar (coeficiente 4): f_1 e f_3
f_1+f_3 = 3,76220 + 4,56791 = 8,33011.
  • Soma dos f_i com índice par interno (coeficiente 2): aqui só f_2
f_2 = 4,14431.
Verifiquei que somei exatamente os valores da tabela.

Passo 5

Montar a expressão de Simpson com os números calculados:
Substituindo na fórmula
\int_{1,9}^{2,3} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f_0+f_4 + 4(f_1+f_3) + 2(f_2)\Big).
Já temos h=0,1, então \dfrac{h}{3}=\dfrac{0,1}{3}=\dfrac{1}{30}. Substituindo as somas encontradas:
\int_{1,9}^{2,3} f(x)\,dx \approx \frac{1}{30}\Big(8,45495 + 4\cdot 8,33011 + 2\cdot 4,14431\Big).

Passo 6

Fazer as operações dentro do parênteses passo a passo:
  • 4\cdot 8,33011 = 33,32044.
  • 2\cdot 4,14431 = 8,28862.
  • Somando tudo: 8,45495 + 33,32044 + 8,28862 = 50,06401.
Agora multiplicamos por \dfrac{1}{30}:
\int_{1,9}^{2,3} f(x)\,dx \approx \frac{50,06401}{30} = 1,6688003333\ldots
Arredondando sensivelmente, por exemplo com 8 casas decimais, obtemos 1,66880033.

Passo 7

Interpretação final e dica rápida: a aproximação acima é a aplicação direta da regra de Simpson composta com n=4 subintervalos igualmente espaçados. Se quiser maior precisão, uma opção é usar mais pontos (reduzir h) ou comparar com outras regras (trapézio composto) para estimar erro. Mas para a prova, seguir esses passos e fazer as contas com atenção é o suficiente — você fez certinho!

Resposta

1,66880033

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