Aplicar os princípios de conservação de massa, momento e energia em um sistema de geração de energia elétrica alternativo.
Calcular a eficiência do dispositivo
Calcular a eficiência do dispositivo
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: aplicar os princípios de conservação de massa, momento e energia a um sistema de geração de energia elétrica alternativo e, a partir disso, calcular a eficiência do dispositivo.
Não foram fornecidos dados numéricos nem um tipo específico de dispositivo. Portanto vou trabalhar com um modelo físico clássico que permite aplicar claramente massa, momento e energia: um gerador movido por um escoamento de fluido (ex.: uma turbina eólica ideal representada pelo modelo de disco atuador). Para poder prosseguir, vou assumir as quantidades que definem o problema: densidade do fluido , velocidade livre a montante
, área do disco/rotor
, e definirei uma variável adimensional
(fator de indução axial) que parametriza quanto o rotor retarda o fluxo. Estas são as informações relevantes que vou usar.
Não foram fornecidos dados numéricos nem um tipo específico de dispositivo. Portanto vou trabalhar com um modelo físico clássico que permite aplicar claramente massa, momento e energia: um gerador movido por um escoamento de fluido (ex.: uma turbina eólica ideal representada pelo modelo de disco atuador). Para poder prosseguir, vou assumir as quantidades que definem o problema: densidade do fluido
Passo 2
Por que escolhi o modelo do disco atuador (turbina eólica ideal)?
Vou justificar de forma curta e amigável: esse modelo é simples, usa direto conservação de massa, momento e energia para um controle de volume que atravessa o disco, e leva a uma expressão fechada da potência extraída em função de parâmetros físicos. É o padrão para demonstrar limites teóricos (como o limite de Betz). Agora vamos às definições e suposições do modelo — é importante entender cada uma antes de aplicar as leis.
Vou justificar de forma curta e amigável: esse modelo é simples, usa direto conservação de massa, momento e energia para um controle de volume que atravessa o disco, e leva a uma expressão fechada da potência extraída em função de parâmetros físicos. É o padrão para demonstrar limites teóricos (como o limite de Betz). Agora vamos às definições e suposições do modelo — é importante entender cada uma antes de aplicar as leis.
Definições e suposições:
- O escoamento é estacionário e incompressível (densidade
constante). - O rotor é idealizado como um disco infinitamente fino que impõe uma queda de pressão e reduz a velocidade do fluido.
- A velocidade longe a montante é
.) - A velocidade no plano do disco (velocidade média através da área
) é , onde é o fator de indução axial com .) - A velocidade a jusante, suficientemente longe do disco, é
.
Essas relações parae vêm da análise do escoamento uniforme que acelera/retarda ao passar pelo disco; a forma linear em é parte do modelo do disco atuador.
Passo 3
Conservação de massa (continuidade) — qual é a ideia e como se aplica aqui?
A conservação de massa na forma integral para um tubo de fluxo que atravessa o disco diz que a taxa de massa que atravessa a seção do disco é constante. Assim a vazão mássica através do disco é
A conservação de massa na forma integral para um tubo de fluxo que atravessa o disco diz que a taxa de massa que atravessa a seção do disco é constante. Assim a vazão mássica através do disco é
Explicando cada símbolo:
é a massa por segundo que atravessa o disco,
é a densidade do fluido,
é a área do disco e
é a velocidade média no plano do disco. Substituindo
obtemos
Passo 4
Conservação de momento (teorema do impulso) — qual é a ideia e a aplicação?
O teorema do momento linear (para fluxo unidimensional e estacionário) diz que a força (empuxo ou tração) exercida pelo disco sobre o fluido é igual à taxa de variação do momento do fluido. Se chamarmos de a força de arrasto (tensão) sobre o rotor, então
O teorema do momento linear (para fluxo unidimensional e estacionário) diz que a força (empuxo ou tração) exercida pelo disco sobre o fluido é igual à taxa de variação do momento do fluido. Se chamarmos de
Isso porque
é a massa por segundo que tem sua velocidade reduzida de
para
. Substituindo
e
,
Arrumando,
Interpretação:
é a força que o ar “empurra” no rotor; essa força multiplicada pela velocidade do disco dá potência mecânica (ver próximo passo).
Passo 5
Conservação de energia — como calcular a potência extraída pelo rotor?
A potência extraída pode ser obtida de duas formas equivalentes: (i) como trabalho por unidade de tempo realizado pela força sobre o disco,
, ou (ii) como a redução de energia cinética do fluido por unidade de tempo através do controle de volume que envolve a seção a montante e a jusante:
A potência extraída
Vamos usar a expressão
porque já temos
e
. Substituindo
e
,
Agrupando os fatores,
Passo 6
Definição de eficiência (coeficiente de potência) e expressão adimensional:
A potência disponível no escoamento de ar que atravessa a área a montante (potência cinética do vento) é
A potência disponível no escoamento de ar que atravessa a área
A eficiência (geralmente chamada de coeficiente de potência
) é a razão entre a potência extraída pelo rotor
e a potência disponível:
Substituindo a expressão de
do passo anterior,
Portanto, o coeficiente de potência do disco atuador é
Explicando:
controla quanto do fluxo é retardado;
mede a fração da potência do vento que é convertida em potência útil pelo rotor.
Passo 7
Encontrar o valor de
que maximiza
: cálculo e interpretação
Queremos a eficiência máxima possível para esse modelo. Isso é um problema de otimização simples: maximize em
. Calculamos a derivada em relação a
e igualamos a zero.
Queremos a eficiência máxima possível para esse modelo. Isso é um problema de otimização simples: maximize
Derivando:
Vamos expandir ou usar regra do produto. Faço a derivada passo a passo:
Derivando termo a termo,
Multiplicando por 4,
Igualando a zero:
Esta é uma equação quadrática. Calculando as raízes (fórmula de Bhaskara ou fatoração):
As raízes são
Então as soluções são
e
. A solução
está fora do intervalo físico aceitável (também faria a velocidade no disco negativa), então o máximo físico ocorre em
Passo 8
Calcular
no ponto ótimo e interpretar resultado (limite de Betz)
Substituindo em
:
Substituindo
Numericamente,
Interpretação física: mesmo num rotor ideal (sem perdas aerodinâmicas, sem conversor elétrico ineficiente, etc.), não é possível extrair mais que cerca de
da potência cinética do vento através de uma única seção. Esse resultado é o famoso limite de Betz.
Passo 9
Resumo prático e como usar isso numa prova / em problemas aplicados
- Se a questão te pedir para aplicar massa, momento e energia: mostre a vazão mássica (
), aplique momento para achar a força e energia para achar a potência ou . - Defina claramente as velocidades a montante, no disco e a jusante em termos de
: . - Relacione a potência extraída com a potência disponível e escreva o coeficiente de potência
. - Para otimizar, derive e encontre
, daí o máximo .
Um exercício prático extra (para treinar): escolha, e e calcule a potência disponível e a potência extraída usando . Isso solidifica como usar as fórmulas numa prova.