Aplicar os princípios de conservação de massa, momento e energia em um sistema de geração de energia elétrica alternativo.
Calcular a eficiência do dispositivo

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: aplicar os princípios de conservação de massa, momento e energia a um sistema de geração de energia elétrica alternativo e, a partir disso, calcular a eficiência do dispositivo.
Não foram fornecidos dados numéricos nem um tipo específico de dispositivo. Portanto vou trabalhar com um modelo físico clássico que permite aplicar claramente massa, momento e energia: um gerador movido por um escoamento de fluido (ex.: uma turbina eólica ideal representada pelo modelo de disco atuador). Para poder prosseguir, vou assumir as quantidades que definem o problema: densidade do fluido \rho, velocidade livre a montante U_\infty, área do disco/rotor A, e definirei uma variável adimensional a (fator de indução axial) que parametriza quanto o rotor retarda o fluxo. Estas são as informações relevantes que vou usar.

Passo 2

Por que escolhi o modelo do disco atuador (turbina eólica ideal)?
Vou justificar de forma curta e amigável: esse modelo é simples, usa direto conservação de massa, momento e energia para um controle de volume que atravessa o disco, e leva a uma expressão fechada da potência extraída em função de parâmetros físicos. É o padrão para demonstrar limites teóricos (como o limite de Betz). Agora vamos às definições e suposições do modelo — é importante entender cada uma antes de aplicar as leis.
Definições e suposições:
  • O escoamento é estacionário e incompressível (densidade \rho constante).
  • O rotor é idealizado como um disco infinitamente fino que impõe uma queda de pressão e reduz a velocidade do fluido.
  • A velocidade longe a montante é \;U_\infty.)
  • A velocidade no plano do disco (velocidade média através da área A) é \;U = U_\infty(1-a), onde \;a é o fator de indução axial com 0 \le a < 0{,}5.)
  • A velocidade a jusante, suficientemente longe do disco, é \;U_d = U_\infty(1-2a).
    Essas relações para \;U e \;U_d vêm da análise do escoamento uniforme que acelera/retarda ao passar pelo disco; a forma linear em \;a é parte do modelo do disco atuador.

Passo 3

Conservação de massa (continuidade) — qual é a ideia e como se aplica aqui?
A conservação de massa na forma integral para um tubo de fluxo que atravessa o disco diz que a taxa de massa que atravessa a seção do disco é constante. Assim a vazão mássica através do disco é
\dot{m} = \rho A U.
Explicando cada símbolo: \dot{m} é a massa por segundo que atravessa o disco, \rho é a densidade do fluido, A é a área do disco e U é a velocidade média no plano do disco. Substituindo \;U = U_\infty(1-a) obtemos
\dot{m} = \rho A U_\infty(1-a).

Passo 4

Conservação de momento (teorema do impulso) — qual é a ideia e a aplicação?
O teorema do momento linear (para fluxo unidimensional e estacionário) diz que a força (empuxo ou tração) exercida pelo disco sobre o fluido é igual à taxa de variação do momento do fluido. Se chamarmos de T a força de arrasto (tensão) sobre o rotor, então
T = \dot{m}\bigl(U_\infty - U_d\bigr).
Isso porque \dot{m} é a massa por segundo que tem sua velocidade reduzida de U_\infty para U_d. Substituindo \dot{m} e U_d = U_\infty(1-2a),
T = \rho A U_\infty(1-a)\bigl(U_\infty - U_\infty(1-2a)\bigr) = \rho A U_\infty(1-a)\bigl(2a U_\infty\bigr).
Arrumando,
T = 2\rho A U_\infty^2\, a(1-a).
Interpretação: T é a força que o ar “empurra” no rotor; essa força multiplicada pela velocidade do disco dá potência mecânica (ver próximo passo).

Passo 5

Conservação de energia — como calcular a potência extraída pelo rotor?
A potência extraída P pode ser obtida de duas formas equivalentes: (i) como trabalho por unidade de tempo realizado pela força sobre o disco, P = T \cdot U, ou (ii) como a redução de energia cinética do fluido por unidade de tempo através do controle de volume que envolve a seção a montante e a jusante:
P = \dot{m}\,\frac{U_\infty^2 - U_d^2}{2}.
Vamos usar a expressão P = T\cdot U porque já temos T e U. Substituindo T e U = U_\infty(1-a),
P = \bigl(2\rho A U_\infty^2\, a(1-a)\bigr)\cdot\bigl(U_\infty(1-a)\bigr).
Agrupando os fatores,
P = 2\rho A U_\infty^3\, a(1-a)^2.

Passo 6

Definição de eficiência (coeficiente de potência) e expressão adimensional:
A potência disponível no escoamento de ar que atravessa a área A a montante (potência cinética do vento) é
P_{\text{disponível}} = \tfrac{1}{2}\rho A U_\infty^3.í
A eficiência (geralmente chamada de coeficiente de potência C_p) é a razão entre a potência extraída pelo rotor P e a potência disponível:
C_p = \frac{P}{P_{\text{disponível}}}.í
Substituindo a expressão de P do passo anterior,
C_p = \frac{2\rho A U_\infty^3\, a(1-a)^2}{\tfrac{1}{2}\rho A U_\infty^3} = 4a(1-a)^2.
Portanto, o coeficiente de potência do disco atuador é
C_p(a)=4a(1-a)^2.
Explicando: \;a controla quanto do fluxo é retardado; C_p mede a fração da potência do vento que é convertida em potência útil pelo rotor.

Passo 7

Encontrar o valor de a que maximiza C_p: cálculo e interpretação
Queremos a eficiência máxima possível para esse modelo. Isso é um problema de otimização simples: maximize C_p(a)=4a(1-a)^2 em 0\le a<0{,}5. Calculamos a derivada em relação a a e igualamos a zero.
Derivando:
\frac{dC_p}{da} = 4\frac{d}{da}\bigl(a(1-a)^2\bigr).
Vamos expandir ou usar regra do produto. Faço a derivada passo a passo:
a(1-a)^2 = a(1 - 2a + a^2) = a - 2a^2 + a^3.
Derivando termo a termo,
\frac{d}{da}\bigl(a - 2a^2 + a^3\bigr) = 1 - 4a + 3a^2.
Multiplicando por 4,
\frac{dC_p}{da} = 4(1 - 4a + 3a^2).
Igualando a zero:
1 - 4a + 3a^2 = 0.
Esta é uma equação quadrática. Calculando as raízes (fórmula de Bhaskara ou fatoração):
3a^2 - 4a + 1 = 0.
As raízes são
a = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot3\cdot1}}{2\cdot3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}.
Então as soluções são a = \tfrac{4-2}{6}=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3} e a = \tfrac{4+2}{6}=1. A solução a=1 está fora do intervalo físico aceitável (também faria a velocidade no disco negativa), então o máximo físico ocorre em
a=\tfrac{1}{3}.

Passo 8

Calcular C_p no ponto ótimo e interpretar resultado (limite de Betz)
Substituindo a=\tfrac{1}{3} em C_p(a)=4a(1-a)^2:
C_{p,\max} = 4\cdot\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{4}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{3}\cdot\frac{4}{9} = \frac{16}{27}.
Numericamente,
\frac{16}{27}\approx 0{,}59259\approx 59{,}3\%.
Interpretação física: mesmo num rotor ideal (sem perdas aerodinâmicas, sem conversor elétrico ineficiente, etc.), não é possível extrair mais que cerca de 59{,}3\% da potência cinética do vento através de uma única seção. Esse resultado é o famoso limite de Betz.

Passo 9

Resumo prático e como usar isso numa prova / em problemas aplicados
  • Se a questão te pedir para aplicar massa, momento e energia: mostre a vazão mássica ( \dot{m}=\rho A U), aplique momento para achar a força T=\dot{m}(U_\infty-U_d) e energia para achar a potência P=\dot{m}\tfrac{U_\infty^2-U_d^2}{2} ou P=T\cdot U.
  • Defina claramente as velocidades a montante, no disco e a jusante em termos de a: \;U_\infty,\; U=U_\infty(1-a),\; U_d=U_\infty(1-2a).
  • Relacione a potência extraída com a potência disponível e escreva o coeficiente de potência \;C_p=4a(1-a)^2.
  • Para otimizar, derive e encontre a=\tfrac{1}{3}, daí o máximo \;C_{p,\max}=\tfrac{16}{27}\approx0{,}593.
    Um exercício prático extra (para treinar): escolha \rho=1{,}225\\ \text{kg/m}^3, U_\infty=8\\ \text{m/s} e A=\pi(10\\ \text{m})^2 e calcule a potência disponível e a potência extraída usando C_p=\tfrac{16}{27}. Isso solidifica como usar as fórmulas numa prova.

Resposta

C_p(a)=4a(1-a)^2
C_{p,\max}=\dfrac{16}{27}\approx0{,}593

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