Oleo SAE 30 (viscosidade absoluta igual a 0,32 Pas e densidade relativa igual a 1,2), escoa em regime permanente no canal formado por duas placas paralelas, horizontais e imóveis. A perda de pressāo por unidade de comprimento do canal é negativa e seu módulo é igual a 50 \mathrm{KPa} / \mathrm{m} e a distância entre as placas é 6 mm . O escoamento é laminar. Determine a vazāo em volume por unidade de comprimento do canal e a velocidade média do escoamento. \square 2,81 \mathrm{~L}(\mathrm{~m} . \mathrm{s}) e 0,47 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \square 0,81 \mathrm{~L}(\mathrm{~m} . \mathrm{s}) e 0,65 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \square 1,81 \mathrm{~L}(\mathrm{~m} . \mathrm{s}) e 0,47 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \square 2,81 \mathrm{~L}(\mathrm{~m} . \mathrm{s}) e 0,65 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \square 1,81 \mathrm{~L}(\mathrm{~m} . \mathrm{s}) e 0,65 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas abaixo.
perda de pressão por unidade de comprimento (gradiente de pressão) com módulo 50\\ \mathrm{kPa/m}. Como a perda é negativa, tomamos
\frac{dp}{dx} = -50{,}000\\ \mathrm{Pa/m},
distância entre as placas: H = 6\\ \mathrm{mm} = 0{,}006\\ \mathrm{m},
escoamento permanente (steady) e laminar.
O que o problema pede:
a vazão em volume por unidade de comprimento do canal (ou seja, vazão por unidade de largura) — vou chamar isso de Q' e terá unidades \mathrm{m^2/s} (ou convertida para \mathrm{L/(m\cdot s)}),
a velocidade média do escoamento \overline{u}.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas com x ao longo do canal e y na direção perpendicular entre as placas, com a origem no centro entre as placas. Assim, as placas estão em y=\pm h onde
h = \frac{H}{2} = 0{,}003\\ \mathrm{m}.
Para escoamento laminar, permanente, unidirecional e totalmente desenvolvido entre placas fixas, a equação de momento reduz-se à equação ordinária
\frac{d^2 u}{dy^2} = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx}.
Explicando essa equação: o termo à esquerda representa a curvatura do perfil de velocidade (efeito viscoso) e o lado direito é a força motriz devido ao gradiente de pressão; u(y) é a velocidade em x dependente apenas de y.
Passo 3
Vamos integrar a equação diferencial duas vezes para obter u(y).