Oleo SAE 30 (viscosidade absoluta igual a 0,32 Pas e densidade relativa igual a 1,2), escoa em regime permanente no canal formado por duas placas paralelas, horizontais e imóveis. A perda de pressāo por unidade de comprimento do canal é negativa e seu módulo é igual a 50 \mathrm{KPa} / \mathrm{m} e a distância entre as placas é 6 mm . O escoamento é laminar. Determine a vazāo em volume por unidade de comprimento do canal e a velocidade média do escoamento.
\square 2,81 \mathrm{~L}(\mathrm{~m} . \mathrm{s}) e 0,47 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\square 0,81 \mathrm{~L}(\mathrm{~m} . \mathrm{s}) e 0,65 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\square 1,81 \mathrm{~L}(\mathrm{~m} . \mathrm{s}) e 0,47 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\square 2,81 \mathrm{~L}(\mathrm{~m} . \mathrm{s}) e 0,65 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\square 1,81 \mathrm{~L}(\mathrm{~m} . \mathrm{s}) e 0,65 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas abaixo.
Dados:
  • viscosidade dinâmica (viscosidade absoluta): \mu = 0,32\\ \mathrm{Pa\cdot s},
  • densidade relativa: 1,2 (portanto \rho = 1,2\cdot 1000 = 1200\\ \mathrm{kg/m^3}),
  • perda de pressão por unidade de comprimento (gradiente de pressão) com módulo 50\\ \mathrm{kPa/m}. Como a perda é negativa, tomamos
\frac{dp}{dx} = -50{,}000\\ \mathrm{Pa/m},
  • distância entre as placas: H = 6\\ \mathrm{mm} = 0{,}006\\ \mathrm{m},
  • escoamento permanente (steady) e laminar.
O que o problema pede:
  1. a vazão em volume por unidade de comprimento do canal (ou seja, vazão por unidade de largura) — vou chamar isso de Q' e terá unidades \mathrm{m^2/s} (ou convertida para \mathrm{L/(m\cdot s)}),
  2. a velocidade média do escoamento \overline{u}.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas com x ao longo do canal e y na direção perpendicular entre as placas, com a origem no centro entre as placas. Assim, as placas estão em y=\pm h onde
h = \frac{H}{2} = 0{,}003\\ \mathrm{m}.
Para escoamento laminar, permanente, unidirecional e totalmente desenvolvido entre placas fixas, a equação de momento reduz-se à equação ordinária
\frac{d^2 u}{dy^2} = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx}.
Explicando essa equação: o termo à esquerda representa a curvatura do perfil de velocidade (efeito viscoso) e o lado direito é a força motriz devido ao gradiente de pressão; u(y) é a velocidade em x dependente apenas de y.

Passo 3

Vamos integrar a equação diferencial duas vezes para obter u(y).
Integrando a primeira vez:
\frac{du}{dy} = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx}\,y + C_1.
Pelo problema temos simetria em torno do centro ( y=0) e nenhum termo linear ímpar, portanto C_1=0.
Integrando uma segunda vez:
u(y) = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,y^2 + C_2.
Aplicando condição de não deslizamento nas placas: u(\pm h)=0. Use u(h)=0:
0 = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,h^2 + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,h^2.
Logo o perfil de velocidade é
u(y) = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\left(y^2-h^2\right).
Observação: como \frac{dp}{dx}<0 e y^2-h^2\le 0, o produto fica positivo (fluxo no sentido positivo de x).

Passo 4

A vazão por unidade de largura Q' é a integral do perfil entre as placas:
Q'=\int_{-h}^{h} u(y)\,dy = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\int_{-h}^{h}\left(y^2-h^2\right)dy.
Calcule cada integral:
\int_{-h}^{h} y^2\,dy = 2\cdot\frac{h^3}{3}=\frac{2h^3}{3}, \qquad \int_{-h}^{h} h^2\,dy = 2h^3.
Portanto
\int_{-h}^{h}\left(y^2-h^2\right)dy = \frac{2h^3}{3}-2h^3 = -\frac{4h^3}{3}.
Substituindo,
Q' = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\left(-\frac{4h^3}{3}\right) = -\frac{2h^3}{3\mu}\frac{dp}{dx}.
Como \frac{dp}{dx}<0, podemos escrever o valor positivo em função do módulo:
Q' = \frac{2h^3}{3\mu}\left|\frac{dp}{dx}\right|.

Passo 5

Agora substituímos os números. Primeiro calcule h^3:
h = 0{,}003\\ \mathrm{m},\qquad h^3 = (0{,}003)^3 = 2{,}7\times 10^{-8}\\ \mathrm{m^3}.
Calcule o fator \dfrac{2h^3}{3\mu}:
\frac{2h^3}{3\mu} = \frac{2\cdot 2{,}7\times 10^{-8}}{3\cdot 0{,}32} = \frac{5{,}4\times 10^{-8}}{0{,}96} = 5{,}625\times 10^{-8}\\ \mathrm{m^3/(Pa\cdot s)}.
Multiplicando pelo módulo do gradiente de pressão \left|\dfrac{dp}{dx}\right|=50{,}000\\ \mathrm{Pa/m}:
Q' = 5{,}625\times 10^{-8}\cdot 50{,}000 = 2{,}8125\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^2/s}.
Converter para \mathrm{L/(m\cdot s)}: 1\\ \mathrm{m^2/s}=1000\\ \mathrm{L/(m\cdot s)}, então
Q' = 2{,}8125\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^2/s}=2{,}8125\\ \mathrm{L/(m\cdot s)}\approx 2{,}81\\ \mathrm{L/(m\cdot s)}.

Passo 6

A velocidade média \overline{u} (média sobre a abertura H) é dada por
\overline{u} = \frac{Q'}{H}.
Substituindo Q'=2{,}8125\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^2/s} e H=0{,}006\\ \mathrm{m}:
\overline{u} = \frac{2{,}8125\times 10^{-3}}{0{,}006} = 0{,}46875\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}47\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Verificação rápida do regime laminar com número de Reynolds característico (usando H como dimensão característica):
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,\overline{u}\,H}{\mu} = \frac{1200\cdot 0{,}46875\cdot 0{,}006}{0{,}32}\approx 10{,}55,
valor muito pequeno, confirmando que o escoamento é laminar (e portanto as fórmulas usadas são válidas). Força a tranquilizar — está tudo coerente!

Resposta

\;2{,}81\\ \mathrm{L/(m\cdot s)}\n \;0{,}47\\ \mathrm{m/s}

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