Determine as raízes do polinômio
p(x)=16 x^{6}-28 x^{5}-4 x^{4}+29 x^{3}-13 x^{2}-x+1 .

Passo 1

O enunciado pede para determinar as raízes do polinômio
p(x)=16 x^{6}-28 x^{5}-4 x^{4}+29 x^{3}-13 x^{2}-x+1.
Informações relevantes dadas:
\text{grau}=6,\qquad\text{coeficientes: }16,\,-28,\,-4,\,29,\,-13,\,-1,\,1.
A tarefa é encontrar todos os valores de \,x\in\mathbb{C}\, (aqui veremos que são reais racionais) tais que \,p(x)=0.

Passo 2

Estratégia inicial: procurar raízes racionais simples usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema diz que qualquer raiz racional \frac{m}{n} (na forma irredutível) satisfaz que m divide o termo constante e n divide o coeficiente líder. Aqui o termo constante é 1 e o coeficiente líder é 16. Assim os candidatos racionais são
\pm 1,\\ \pm\frac{1}{2},\\ \pm\frac{1}{4},\\ \pm\frac{1}{8},\\ \pm\frac{1}{16}.
Vamos testar esses candidatos por substituição direta em \,p(x).

Passo 3

Testando x=1 por substituição:
p(1)=16-28-4+29-13-1+1.
Fazendo as contas em sequência: 16-28=-12, -12-4=-16, -16+29=13, 13-13=0, 0-1=-1, -1+1=0. Logo
p(1)=0,
portanto x=1 é raiz e (x-1) é um fator. Agora dividimos p(x) por (x-1). Usamos divisão sintética com 1. Coeficientes iniciais:
16,\\\ -28,\\\ -4,\\\ 29,\\\ -13,\\\ -1,\\\ 1.
Divisão sintética com 1:
\begin{array}{r|rrrrrr} 1 & 16 & -28 & -4 & 29 & -13 & -1 & 1\\hline & & 16 & -12& -16& 13 & 0 & -1\\\ & 16 & -12 & -16& 13 & 0 & -1 & 0 \end{array}
O resto é 0 e o quociente é o polinômio de grau 5
q_1(x)=16x^{5}-12x^{4}-16x^{3}+13x^{2}+0x-1.

Passo 4

Testamos novamente candidatos racionais em q_1(x). Teste x=1:
q_1(1)=16-12-16+13+0-1.
Calculando: 16-12=4, 4-16=-12, -12+13=1, 1-1=0. Logo q_1(1)=0: x=1 é raiz novamente (multiplicidade \ge2 para p). Dividimos q_1 por (x-1) com divisão sintética (coeficientes 16,-12,-16,13,0,-1):
\begin{array}{r|rrrrr} 1 & 16 & -12 & -16 & 13 & 0 & -1\\hline & & 16 & 4 & -12& 1 & 1\\\ & 16 & 4 & -12 & 1 & 1 & 0 \end{array}
Quociente de grau 4:
r(x)=16x^{4}+4x^{3}-12x^{2}+x+1.

Passo 5

Agora buscamos raízes de r(x). Teste x=-1:
r(-1)=16(-1)^{4}+4(-1)^{3}-12(-1)^{2}+(-1)+1 = 16-4-12-1+1.
Fazendo as contas: 16-4=12, 12-12=0, 0-1=-1, -1+1=0. Logo r(-1)=0, então x=-1 é raiz. Dividimos r(x) por (x+1) usando divisão sintética com -1 (coeficientes 16,4,-12,1,1):
\begin{array}{r|rrrr} -1 & 16 & 4 & -12 & 1 & 1\\hline & & -16 & 12 & 0 & 0\\\ & 16 & -12 & 0 & 1 & 0 \end{array}
Quociente de grau 3:
s(x)=16x^{3}-12x^{2}+0x+1.

Passo 6

Procuramos raízes de s(x)=16x^{3}-12x^{2}+1. Teste x=\tfrac{1}{2} por substituição:
s\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=16\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}-12\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+1.
Calcule cada termo: \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=\tfrac{1}{8}, então 16\cdot\tfrac{1}{8}=2. Também \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}, então -12\cdot\tfrac{1}{4}=-3. Assim
s\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=2-3+1=0.
Portanto x=\tfrac{1}{2} é raiz. Fazemos divisão sintética com 1/2 nos coeficientes 16,-12,0,1:
\begin{array}{r|rrrr} \frac{1}{2} & 16 & -12 & 0 & 1\\hline & & 8 & -2& -1\\\ & 16 & -4 & -2& 0 \end{array}
Quociente de grau 2:
t(x)=16x^{2}-4x-2.

Passo 7

Resolvemos o trinômio quadrático t(x)=16x^{2}-4x-2 usando a fórmula quadrática. Recordando: para \,ax^{2}+bx+c=0 a solução é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes do quadrático. Aqui a=16, b=-4, c=-2. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot 16\cdot(-2)=16+128=144.
Portanto \sqrt{\Delta}=12. Aplicando a fórmula:
x=\frac{-(-4)\pm 12}{2\cdot 16}=\frac{4\pm 12}{32}.
As duas raízes são
x=\frac{4+12}{32}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}, \qquad x=\frac{4-12}{32}=\frac{-8}{32}=-\frac{1}{4}.
Observação: aparece novamente x=\tfrac{1}{2}, logo x=\tfrac{1}{2} tem multiplicidade 2 no polinômio original.

Passo 8

Agora reunimos todas as raízes encontradas e suas multiplicidades. Do processo de divisão obtivemos os fatores:
p(x)=16\,(x-1)^{2}(x+1)\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}\left(x+\tfrac{1}{4}\right).
Verificação rápida do coeficiente líder e constante: o fator 16 garante o coeficiente líder 16 e o termo constante se alinha para 1. Assim as raízes (reais) são:
x=1\\ \text{(multiplicidade 2)},\quad x=\tfrac{1}{2}\\ \text{(multiplicidade 2)},\quad x=-1\\ \text{(multiplicidade 1)},\quad x=-\tfrac{1}{4}\\ \text{(multiplicidade 1)}.

Resposta

x=1 (multiplicidade 2)
x=\tfrac{1}{2} (multiplicidade 2)
x=-1 (multiplicidade 1)
x=-\tfrac{1}{4} (multiplicidade 1)

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