Determine as raízes do polinômio
Passo 1
O enunciado pede para determinar as raízes do polinômio
Informações relevantes dadas:
A tarefa é encontrar todos os valores de
(aqui veremos que são reais racionais) tais que
.
Passo 2
Estratégia inicial: procurar raízes racionais simples usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema diz que qualquer raiz racional
(na forma irredutível) satisfaz que
divide o termo constante e
divide o coeficiente líder. Aqui o termo constante é
e o coeficiente líder é
. Assim os candidatos racionais são
Vamos testar esses candidatos por substituição direta em
.
Passo 3
Testando
por substituição:
Fazendo as contas em sequência:
,
,
,
,
,
. Logo
portanto
é raiz e
é um fator. Agora dividimos
por
. Usamos divisão sintética com
. Coeficientes iniciais:
Divisão sintética com
:
O resto é
e o quociente é o polinômio de grau
Passo 4
Testamos novamente candidatos racionais em
. Teste
:
Calculando:
,
,
,
. Logo
:
é raiz novamente (multiplicidade
para
). Dividimos
por
com divisão sintética (coeficientes
):
Quociente de grau
:
Passo 5
Agora buscamos raízes de
. Teste
:
Fazendo as contas:
,
,
,
. Logo
, então
é raiz. Dividimos
por
usando divisão sintética com
(coeficientes
):
Quociente de grau
:
Passo 6
Procuramos raízes de
. Teste
por substituição:
Calcule cada termo:
, então
. Também
, então
. Assim
Portanto
é raiz. Fazemos divisão sintética com
nos coeficientes
:
Quociente de grau
:
Passo 7
Resolvemos o trinômio quadrático
usando a fórmula quadrática. Recordando: para
a solução é
onde
,
,
são os coeficientes do quadrático. Aqui
,
,
. Calculamos o discriminante:
Portanto
. Aplicando a fórmula:
As duas raízes são
Observação: aparece novamente
, logo
tem multiplicidade
no polinômio original.
Passo 8
Agora reunimos todas as raízes encontradas e suas multiplicidades. Do processo de divisão obtivemos os fatores:
Verificação rápida do coeficiente líder e constante: o fator
garante o coeficiente líder
e o termo constante se alinha para
. Assim as raízes (reais) são: